图1 图2 图3

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图1 图2 图3

(1) 如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D、E、F分别为BC、AB、AC的中点，则AE与CF的数量关系是.

(2) 如图 2，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点，∠EDF=90°，那么BE+CF=EF是否成立?证明你的猜想；

(3) 如图3，边长为4的等边△ABC外有一点D，∠BDC=120°，BD=CD，E、F分别是边AB、AC的点，满足∠EDF=60°，求△AEF 的周长.

【考点】

旋转的性质; 三角形全等的判定-SAS; 三角形的中位线定理;

【答案】

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综合题困难

1. 如图 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

(1) 试判断 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并写出证明过程．

(2) 如图 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的延长线上， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，请写出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并写出证明过程．

(3) 如图 $\text{[math]}$ ，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，请直接写出线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间数量关系．

综合题困难

2. 通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．

原题：如图1，点E、F分别在正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，试猜想 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

(1) 思路梳理

把 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转90°至 $\text{[math]}$ ，可使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，即点F、D、G共线，易证 $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系为．（要求写出必要的推理过程）

(2) 类比引申

如图2，点E、F分别在正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的延长线上， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，试猜想 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系为，并给出证明．

(3) 联想拓展

如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D、E均在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．