如图1，在正方形中，点E、F分别在上，且分别与交于点G、H ，过点G作，垂足为M ，交于点N ．

1. 如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E、F分别在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 交于点G、H ，过点G作 $\text{[math]}$ ，垂足为M ，交 $\text{[math]}$ 于点N ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 如图2，过点G作 $\text{[math]}$ ，垂足为Q ，交 $\text{[math]}$ 于点P ．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

三角形全等的判定; 正方形的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 现有正方形 $\text{[math]}$ 和一个直角 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，若点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，射线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 延长线于 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 交正方形的边 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是，请证明你的结论；

(2) 如图2，若点 $\text{[math]}$ 在正方形的对角线 $\text{[math]}$ 上，射线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 延长线于 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 恰好经过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是，请证明你的结论；

(3) 若 $\text{[math]}$ 在正方形 $\text{[math]}$ 所在平面内任意移动，射线 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 始终保持相等，请你直接写出点 $\text{[math]}$ 所有可能的位置．

综合题困难

2. 如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连接BE，过点A作 $\text{[math]}$ 交BC于点F．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，取BE的中点M，过点M作 $\text{[math]}$ ，交AD于点G，交BC于点H．

①求证： $\text{[math]}$ ；

②连接CM，若 $\text{[math]}$ ，求GH的长；

(3) 如图3，取BE的中点M，连接CM，过点C作 $\text{[math]}$ 交AD于点G，连接EG、MG，若 $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 的面积为．（直接写出结果）

综合题普通

3. 如图，点E，F，分别是正方形ABCD的边BC，CD的中点，AF与DE交于点G，连接BG．

(1) 写出线段AF与DE的数量关系和位置关系，并证明；

(2) 求证： $\text{[math]}$ ．

综合题普通