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1. 已知四边形
是边长为1的正方形,点E是射线
上的动点,以
为直角边在直线
的上方作等腰直角三角形
,
,设
.
(1)
如图1,若点E在线段
上运动,
交
于点P,
交
于点Q,连结
,
①当
时,求线段
的长;
②在
中,设边
上的高为h,请用含m的代数式表示h,并求h的最大值;
(2)
设过
的中点且垂直于
的直线被等腰直角三角形
截得的线段长为y,请直接写出y与m的关系式.
【考点】
三角形全等的判定; 勾股定理; 正方形的性质; 相似三角形的判定与性质; 等腰直角三角形;
【答案】
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综合题
困难
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1. 如图①,四边形
是正方形,点E是
上一点,连接
, 以
为一边作正方形
, 连接
.
(1)
求证:
;
(2)
如图②,连接
交
于点H,连接
, 求证:
;
(3)
在(2)的条件下,若
, 点H恰为
中点,求
的面积.
综合题
普通
2.
(1)
方法探索:如图①,在正方形ABCD中,点E,F分别为DC,BC边上的点,且满足∠EAF=45°,连接EF,求证:DE+BF=EF.(根据所给的铺助线完成证明)
(2)
方法拓展:如图②.在四边形ABCD中,AB=AD,E,F分别为DC,BC上的点,满足∠EAF=
∠DAB,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时,可使得DE+BF=EF.并证明你的猜想.
(3)
知识应用:如图③,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,AB=BC=5,AD=4,E是边AB上一点,且∠DCE=45°,求AE的长度.
综合题
普通
3. 勾股定理是数学史上非常重要的一个定理.早在2000多年以前,人们就开始对它进行研究,至今已有几百种证明方法.在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法如下,请同学们仔细阅读并解答相关问题:如图;分别以Rt△ABC的三边为边长,向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI.
(1)
设正方形ABDE的面积为
, 正方形BCFG的面积为
, 正方形ACHI的面积为
, 证明
;
(2)
连接BI、CE,求证:EC=BI;
(3)
过点B作AC的垂线,交AC于点M,交IH于点N.试说明四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等.
综合题
普通