某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料.

1. 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为 $\text{[math]}$ .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料.

(1) 求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；

(2) 求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.

【考点】

离散型随机变量的期望与方差;

【答案】

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解答题普通

1. 三门是“中国青蟹之乡”，气候温暖、港湾平静、水质优良，以优越的自然环境成为我国优质青蟹的最佳产区.所产的三门青蟹具有“金爪、绯钳、青背、黄肚”的特征，以“壳薄、皆黄、肉嫩、味美”而著称，素有“三门青蟹、横行世界”之美誉；且营养丰富，内含人体所需的18种氨基酸和蛋白质、脂肪、钙、磷、铁等营养成分，被誉为“海中黄金，蟹中臻品”.养殖户一般把重量超过350克的青蟹标记为 $\text{[math]}$ 类青蟹

(1) 现有一个小型养蟹池，已知蟹池中有50只青蟹，其中 $\text{[math]}$ 类青蟹有7只，若从池中抓了2只青蟹，用 $\text{[math]}$ 表示其中 $\text{[math]}$ 类青蟹的只数，请写出 $\text{[math]}$ 的分布列，并求 $\text{[math]}$ 的数学期望 $\text{[math]}$ ；

(2) 另有一个养蟹池，为估计蟹池中的青蟹数目 $\text{[math]}$ ，小王先从中抓了50只青蟹，做好记号后放回池中，过了一段时间后，再从中抓了20只青蟹，发现有记号的有 $\text{[math]}$ 只，若 $\text{[math]}$ ，试给出蟹池中青蟹数目 $\text{[math]}$ 的估计值（以使 $\text{[math]}$ 取得最大值的 $\text{[math]}$ 为估计值）.

解答题普通

2. 已知投资甲､乙两个项目的利润率分别为随机变量 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ .经统计分析， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的分布列分别为

表1：

$\text{[math]}$	0.3	0.18	0.1
$\text{[math]}$	0.2	0.5	0.3

表2：

$\text{[math]}$	0.25	0.15
$\text{[math]}$	0.2	0.8

(1) 若在甲､乙两个项目上各投资100万元， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别表示投资甲､乙两项目所获得的利润，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数学期望和方差，并由此分析投资甲､乙两项目的利弊；

(2) 若在甲､乙两个项目总共投资100万元，求在甲､乙两个项目上分别投资多少万元时，可使所获利润的方差和最小？注：利润率 $\text{[math]}$ .

解答题普通

3. 某试验机床生产了12个电子元件，其中8个合格品，4个次品．从中随机抽出4个电子元件作为样本，用X表示样本中合格品的个数．

(1) 若有放回的抽取，求X的分布列与期望；

(2) 若不放回的抽取，求样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过 $\text{[math]}$ 的概率．

解答题普通