如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD ，点M为棱AB的中点，AB=2，AD= ，∠BAD=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．

1. 如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD ，点M为棱AB的中点，AB=2，AD= $\text{[math]}$ ，∠BAD=90°．

（Ⅰ）求证：AD⊥BC；

（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；

（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．

【考点】

异面直线所成的角; 直线与平面所成的角;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）求 $\text{[math]}$ 的长度；

（Ⅱ）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角的正弦值．

解答题普通

2. 如图，直三棱柱 $\text{[math]}$ 的底面为直角三角形且 $\text{[math]}$ ，直角边 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 的长分别为3､4，侧棱 $\text{[math]}$ 的长为4，点M､N分别为线段 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 的中点.

(1) 求证：A，C，N，M四点共面；

(2) 求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的大小.

解答题普通

3. 如图，已知正四棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面边长 $\text{[math]}$ ，侧棱 $\text{[math]}$ ，过点B作 $\text{[math]}$ 的垂线交侧棱 $\text{[math]}$ 于点E，交 $\text{[math]}$ 于点F.

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的线面角.

解答题困难