如图，四面体中，，，，为的中点．

1. 如图，四面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．

(1) 证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上；

①点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；

②当 $\text{[math]}$ 的面积最小时，求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角的正弦值.

【考点】

异面直线所成的角; 直线与平面垂直的判定; 平面与平面垂直的判定; 直线与平面所成的角;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，在正三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．

(1) 求直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的大小；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

解答题普通

2. 如图所示，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 证明： $\text{[math]}$

(2) 若 $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形，点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ 试问直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成夹角是否为定值，若是则求出该夹角的余弦值 $\text{[math]}$ 若不是请说明理由 $\text{[math]}$ 线面角

(3) 在 $\text{[math]}$ 的条件下，取 $\text{[math]}$ 中点为 $\text{[math]}$ ，并取一点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 当直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正切值最大时 $\text{[math]}$ 试求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值．

解答题困难

3. 如图，在五面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点．

(1) 求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值．

解答题普通