如图，四面体中，，，，为的中点．

1. 如图，四面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．

(1) 证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上；

①点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；

②当 $\text{[math]}$ 的面积最小时，求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角的正弦值.

【考点】

异面直线所成的角; 直线与平面垂直的判定; 平面与平面垂直的判定; 直线与平面所成的角;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，点 $\text{[math]}$ 在直径为 $\text{[math]}$ 的半圆 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 垂直于半圆 $\text{[math]}$ 所在的平面， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角是 $\text{[math]}$ ，在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ 若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的值 $\text{[math]}$ 若不存在，请说明理由．

解答题普通

2. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．四边形 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 为侧棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为侧棱 $\text{[math]}$ 上的任意一点．

(1) 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 垂直？若存在，写出证明过程并求出线段 $\text{[math]}$ 的长；若不存在，请说明理由．

解答题普通

3. 如图所示，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长2的正方形，侧面 $\text{[math]}$ 为等腰三角形， $\text{[math]}$ ，侧面 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ．

(1) 在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的值，若不存在，请说明理由；

(2) 求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

解答题普通