已知函数在上有最大值1和最小值0，设 .

1. 已知函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有最大值1和最小值0，设 $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 若不等式 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有解，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 若方程 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 为自然对数的底数)有三个不同的实数解，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

【考点】

函数与方程的综合运用;

【答案】

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解答题困难

1. 利普希兹条件是数学中一个关于函数光滑性的重要概念，设 $\text{[math]}$ 定义在 $\text{[math]}$ 上的函数，若对于 $\text{[math]}$ 中任意两点 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是“ $\text{[math]}$ -利普希兹条件函数”.

(1) 判断函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是否为“1-利普希兹条件函数”；

(2) 若函数 $\text{[math]}$ 是“ $\text{[math]}$ -利普希兹条件函数”，求 $\text{[math]}$ 的最小值；

(3) 设 $\text{[math]}$ ，若存在 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 是“2024-利普希兹条件函数”，且关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有两个不相等实根，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题困难

2. 已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0

(1) 令ω=1，判断函数 $\text{[math]}$ 的奇偶性，并说明理由；

(2) 令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个 $\text{[math]}$ 单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，对任意a∈R，求y=g（x）在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值．

解答题困难

3. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 若函数 $\text{[math]}$ 是奇函数，求实数 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 在在（1）的条件下，判断函数 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ 的图像公共点个数，并说明理由；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 的图象始终在函数 $\text{[math]}$ 的图象上方，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难