某校举办创意钟面设计大赛，七（1）班数学兴趣小组设计了以一副三角板为背景的圆形钟面．如图①，点O为钟面的圆心，，且点A、O、C在同一直线上，边指向12点方向，边指向6点方向，记时针为线段，分针为线段，时钟运行正常．【简单认识】

1. 某校举办创意钟面设计大赛，七（1）班数学兴趣小组设计了以一副三角板为背景的圆形钟面．如图①，点O为钟面的圆心， $\text{[math]}$ ，且点A、O、C在同一直线上，边 $\text{[math]}$ 指向12点方向，边 $\text{[math]}$ 指向6点方向，记时针为线段 $\text{[math]}$ ，分针为线段 $\text{[math]}$ ，时钟运行正常．

【简单认识】

(1) 时针每分钟转动______度，分针每分钟转动______度；

当时针 $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 重合时，钟面显示的时间为______．

【初步研究】

(2) 爱钻研的梅梅根据该钟面，结合正在学习的角和相交线的知识，提出了如下问题，请你帮她解答：如图②，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E，某一时刻时针 $\text{[math]}$ 恰好平分 $\text{[math]}$ ．

①此时时针 $\text{[math]}$ 与分针 $\text{[math]}$ 的夹角为______度．（小于平角的角）

②求此时 $\text{[math]}$ 的度数．

【深入思考】

(3) 若时针 $\text{[math]}$ 与分针 $\text{[math]}$ 同时从（2）中时刻出发，1小时之内，经过______分钟，时针 $\text{[math]}$ 与分针 $\text{[math]}$ 互相垂直．

【考点】

角的运算; 角平分线的性质; 一元一次方程的实际应用-几何问题; 钟面角;

【答案】

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解答题困难

1. 点O为直线 $\text{[math]}$ 上一点，过点O作射线 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ．将一直角三角板的直角顶点放在点O处．

(1) 如图1，当三角板 $\text{[math]}$ 的一边 $\text{[math]}$ 与射线 $\text{[math]}$ 重合时，则 $\text{[math]}$ ______．

(2) 如图2，将图①中的三角板 $\text{[math]}$ 绕点O以每秒 $\text{[math]}$ 的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当直线 $\text{[math]}$ 恰好平分锐角 $\text{[math]}$ 时，旋转的时间是多少秒？

(3) 将三角板 $\text{[math]}$ 绕点O逆时针旋转至图3时， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数？

解答题普通

2. 如图，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，射线 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上方，且 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．（请用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）．

解答题普通

3. 有这样一个探究题：借助三角尺拼出 $\text{[math]}$ 的角，即通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角．

(1) 【实践】在度数分别为① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ， ③ $\text{[math]}$ ， ④ $\text{[math]}$ 的角中，用一副三角尺拼不出来的是_________（填序号）；

(2) 【操作】七（1）班数学学习小组用一副三角尺进行拼角．如图①，小明把 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的角拼在一起；如图②，小红把 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的角拼在一起．他们两人各自所拼的两个角均在公共边 $\text{[math]}$ 的异侧，并在各自所拼的图形中分别作出 $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ ，则图①中的 $\text{[math]}$ 的度数为_________，图②中的 $\text{[math]}$ 的度数为_________；

(3) 【发现】当有公共顶点的两个角 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 有一条边重合，且这两个角在公共边的异侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是_________（用含 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的代数式表示）；

(4) 【拓展】小明把图①中的三角尺 $\text{[math]}$ 绕点O顺时针旋转 $\text{[math]}$ 到图③的位置，使O，D，B三点在同一条直线上，并求出了 $\text{[math]}$ 的度数为 $\text{[math]}$ ．小红把图②中的三角尺 $\text{[math]}$ 绕点O顺时针旋转 $\text{[math]}$ 到图④的位置，使O，D，B三点在同一条直线上．请你仿照小明的做法，求出图④中 $\text{[math]}$ 的度数；

(5) 【归纳】当有公共顶点的两个角 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 有（其中 $\text{[math]}$ ）有一条边重合，且这两个角在公共边的同侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是_________（用含 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的代数式表示）

解答题普通