湖南某高中在校园艺术节举办形式多样的活动.

1. 湖南某高中在校园艺术节举办形式多样的活动.

(1) 抽奖活动规则如下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片，其中3张写有 $\text{[math]}$ 字母，3张写有 $\text{[math]}$ 字母，2张写有 $\text{[math]}$ 字母，抽奖学生每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若抽到写有 $\text{[math]}$ 的卡片，则再抽1次，直至取到写有 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 卡片为止.抽到 $\text{[math]}$ 卡片送精美校园明信片一张，抽到 $\text{[math]}$ 卡片送文学社设计的精美信封一个.甲同学想要明信片，请问甲同学取到写有 $\text{[math]}$ 卡片的概率.

(2) 领福袋活动规则如下：每位同学都可以去文化长廊领取自己最喜欢的福袋，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，长廊上一共悬挂 $\text{[math]}$ 个福袋（每个福袋的大小不同），福袋出现在各个位置上的概率相等，乙同学想要摘取最大的福袋，他准备采用如下策略：不摘前 $\text{[math]}$ 个福袋，自第 $\text{[math]}$ 个开始，只要发现比他前面见过的福袋都大时，就摘这个福袋，否则就摘最后一个.设 $\text{[math]}$ ，记乙同学摘到最大的福袋概率为 $\text{[math]}$ .

①若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；

②当 $\text{[math]}$ 趋向于无穷大时，从理论的角度，求 $\text{[math]}$ 的最大值及 $\text{[math]}$ 取最大值时 $\text{[math]}$ 的值.（取 $\text{[math]}$ ）

【考点】

利用导数研究函数最大（小）值; 互斥事件的概率加法公式;

【答案】

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解答题普通

1. 一游戏规则如下：一个质点在数轴上运动，从原点出发，每次向左或者向右移动一个单位，共移动了 $\text{[math]}$ 次.

(1) 已知质点每次向右移动的概率为 $\text{[math]}$ .

①当 $\text{[math]}$ 时，求质点最终回到原点的概率；

②规定质点在运动过程中，只要出现在原点左侧，游戏就结束，否则游戏就继续、直到移动了 $\text{[math]}$ 次，分别求出当 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 时质点最终落在原点右侧的概率并比较它们的大小

(2) 现在规定游戏分为两个阶段：第一阶段，质点每次向右移动的概率为 $\text{[math]}$ 、共移动了3次、若质点最终落在了原点左侧，则结束游戏，且最终得分为0分. 若最终落在了原点右侧、则通过第一阶段，并进入第二阶段：质点重新回到原点，每次向右移动的概率为 $\text{[math]}$ ，并再次移动了3次，若质点最终落在了原点左侧，则最终得分也为0分；若最终落在了原点右侧，则最终得分为质点位于数轴上所在位置对应的实数.

①请用含 $\text{[math]}$ 的式子表示该游戏得分的数学期望；

②若 $\text{[math]}$ 则当 $\text{[math]}$ 取何值的时候，该游戏得分的期望值最大？

解答题困难

2. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 的最小值；

(2) 设方程 $\text{[math]}$ 的所有根之和为T，且 $\text{[math]}$ ，求整数n的值；

(3) 若关于x的不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数a的取值范围．

解答题困难

3. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，其左顶点到点 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，不过原点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于不同的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；

(2) 当 $\text{[math]}$ 的面积取最大值时，求 $\text{[math]}$ 的面积.

解答题困难