北方的冬天，人们酷爱冰雪运动，在这项运动里面，我们可以用数学知识解决一些实际问题．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方50米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．当运动员运动到离A处的水平距离为60米时，离水平线的高度为60米．

1. 北方的冬天，人们酷爱冰雪运动，在这项运动里面，我们可以用数学知识解决一些实际问题．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，图中的抛物线 $\text{[math]}$ 近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方50米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线 $\text{[math]}$ 运动．当运动员运动到离A处的水平距离为60米时，离水平线的高度为60米．

(1) 求小山坡最高点到水平线的距离．

(2) 求抛物线 $\text{[math]}$ 所对应的函数表达式．

(3) 当运动员滑出点A后，直接写出运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡 $\text{[math]}$ 的竖直距离为10米．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式;

【答案】

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解答题困难

1. 已知二次函数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值．

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 请直接写出当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题普通

2. 设二次函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是常数）的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点．

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点的坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的表达式及其图象的对称轴；

(2) 若该二次函数 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这三个实数中，只有一个是负数，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 设一次函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是常数），若函数 $\text{[math]}$ 的表达式还可以写成 $\text{[math]}$ 的形式，当函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

3. 在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，其对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在该抛物线上，其横坐标为 $\text{[math]}$ ．以点 $\text{[math]}$ 为对称中心，作正方形 $\text{[math]}$ ．使 $\text{[math]}$ 轴，且点 $\text{[math]}$ 的横坐标为1．

(1) 求该抛物线对应的函数关系式．

(2) 当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，求抛物线的顶点到正方形 $\text{[math]}$ 垂直于 $\text{[math]}$ 轴的边的最短距离．

(3) 当抛物线在正方形 $\text{[math]}$ 内部的部分对应的函数值 $\text{[math]}$ 随 $\text{[math]}$ 的增大而减小或 $\text{[math]}$ 随 $\text{[math]}$ 的增大而增大时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

(4) 当抛物线与正方形 $\text{[math]}$ 的边有且只有两个交点，且这两个交点的纵坐标之和为8时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难