我校物理兴趣小组的同学决定举行遥控赛车比赛，比赛路径如图所示。可视为质点的赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L后，由B点进入半径为R的光滑竖直半圆轨道，并通过半圆轨道的最高点C，才算完成比赛。B是半圆轨道的最低点，水平直线轨道和半圆轨道相切于B点。已知赛车质量，通电后以额定功率工作，进入半圆轨道前电动机已停止工作，进入竖直圆轨道前受到的阻力大小恒为，随后在运动中受到的阻力均可不计，，（g取10 m/s2）。求：

1. 我校物理兴趣小组的同学决定举行遥控赛车比赛，比赛路径如图所示。可视为质点的赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L后，由B点进入半径为R的光滑竖直半圆轨道，并通过半圆轨道的最高点C，才算完成比赛。B是半圆轨道的最低点，水平直线轨道和半圆轨道相切于B点。已知赛车质量 $\text{[math]}$ ，通电后以额定功率 $\text{[math]}$ 工作，进入半圆轨道前电动机已停止工作，进入竖直圆轨道前受到的阻力大小恒为 $\text{[math]}$ ，随后在运动中受到的阻力均可不计， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （g取10 m/s²）。求：

(1) 要使赛车完成比赛，赛车在半圆轨道的B点速度至少多大；

(2) 要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间；

(3) 若电动机工作时间为 $\text{[math]}$ ，当R为多少时赛车既能完成比赛且飞出的水平距离又最大，水平距离最大是多少。

【考点】

功率及其计算; 动能定理的综合应用; 机械能守恒定律;

【答案】

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解答题普通

1. 如图为高山滑雪赛道，赛道分为倾斜赛道 $\text{[math]}$ 与水平赛道 $\text{[math]}$ 两部分，其中倾斜赛道 $\text{[math]}$ 顶端 $\text{[math]}$ 处与水平赛道 $\text{[math]}$ 间的高度差 $\text{[math]}$ 。某滑雪者连同滑雪板总质量 $\text{[math]}$ （可视为质点），从赛道顶端 $\text{[math]}$ 处由静止开始沿直线下滑，通过倾斜赛道底端 $\text{[math]}$ 处测速仪测得其速度大小 $\text{[math]}$ 。滑雪者通过倾斜赛道 $\text{[math]}$ 与水平赛道 $\text{[math]}$ 连接处速度大小不变，在水平赛道 $\text{[math]}$ 上沿直线继续前进 $\text{[math]}$ 后停下来（滑雪者整个运动过程中未使用雪杖）。重力加速度 $\text{[math]}$ 。

（1）求滑雪者在倾斜赛道 $\text{[math]}$ 段运动过程中，重力势能的减少量 $\text{[math]}$ 和动能的增加量 $\text{[math]}$ ，并判断机械能是否守恒；

（2）求滑雪者在水平面赛道上受到的平均阻力大小 $\text{[math]}$ 。

解答题普通

2. 某研究小组用如图甲所示的装置来研究滑块（可视为质点）的运动。ABCD为固定轨道，AB部分是倾角 $\text{[math]}$ 的粗糙斜面，BC部分是圆心角 $\text{[math]}$ 的光滑圆弧轨道，CD部分是光滑水平面，AB和CD分别与圆弧轨道部分相切于B点和C点，圆弧轨道的C点下面装有一压力传感器。轻弹簧一端固定在水平面上的D处，另一端自由伸长时恰好在C点。该小组成员让滑块从斜面上的顶点A处由静止开始下滑，已知滑块与斜面间的动摩擦因数 $\text{[math]}$ ，取重力加速度大小 $\text{[math]}$ 。

(1) 若A、B两点的高度差 $\text{[math]}$ ，求滑块在斜面AB上运动的时间t；

(2) 让滑块从斜面上不同位置由静止下滑，并记录滑块起始位置离B点的高度h，滑块每次刚到达C点时，压力传感器的示数F与h的关系图像如图乙所示，求圆弧轨道的半径R；

(3) 在（2）的情况下，若弹簧的劲度系数 $\text{[math]}$ ，弹簧始终处于弹性限度内，求弹簧最大形变量x_m与A、B两点的高度差H的关系式。

解答题困难

3. 如图所示，右端连有一个光滑弧形槽的水平桌面AB长L=1.5m，一个质量为m=0.5kg的木块在F=1.5N的水平拉力作用下，从桌面上的A端由静止开始向右运动，木块到达B端时撤去拉力F，木块与水平桌面间的动摩擦因数μ=0.2，取g=10m/s²。求：

(1)木块沿AB运动到B点的速度v_B；

(2)木块沿弧形槽滑到最大高度H（未脱离轨道）。

解答题普通