如图

1. 如图

(1) 【源于课本】将一次函数 $\text{[math]}$ 的图象沿着 $\text{[math]}$ 轴向上平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为∶ ．

(2) 【小组探究】我们知道，平移、轴对称、旋转是三种基本的图形运动．莲花中学初二数学小组开展“探究一次函数图象经历图形运动后的函数表达式”的活动．

①（平移探究）将图1中一次函数 $\text{[math]}$ 的图象沿着 $\text{[math]}$ 轴向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移．因此，只需要在图象上任取两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将它们沿着 $\text{[math]}$ 轴向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，得到点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标，从而求出直线 $\text{[math]}$ 对应的函数表达式为：．

②（轴对称探究）将图1中一次函数 $\text{[math]}$ 的图象关于 $\text{[math]}$ 轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为：；

③（旋转探究）若一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，将直线 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转 $\text{[math]}$ ，得到的直线与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．求旋转后的直线对应的函数表达式．（请写出解答过程）

(3) 【学以致用】在上述③的条件下， $\text{[math]}$ 的正半轴上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得以点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的三角形为等腰三角形．若存在，请直接写出所有符合条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】

三角形全等的判定-AAS; 一次函数的其他应用; 一次函数图象的平移变换;

【答案】

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实践探究题困难

(1) 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC ，直线l经过点A ， BD⊥直线l ， CE⊥直线l ，垂足分别为点D、E ．证明：DE＝BD+CE ．

(2) 组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC ， D ， A ， E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α ，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

(3) 数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG ， AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I ，求证：I是EG的中点．

实践探究题困难

2. （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，直线l经过点A， $\text{[math]}$ 直线l， $\text{[math]}$ 直线l，垂足分别为点D、E．证明： $\text{[math]}$ ．

（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D、A、E三点都在直线l上，并且有 $\text{[math]}$ ，其中α为任意锐角或钝角．请问结论 $\text{[math]}$ 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 向外作等腰 $\text{[math]}$ 和等腰 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的高，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点I，求证：I是 $\text{[math]}$ 的中点．

实践探究题困难

3. 在证明等腰三角形的判定定理时，甲、乙、丙三位同学各添加一条辅助线，方法如图所示 $\text{[math]}$ 你能用哪位同学添加辅助线的方法完成证明，请选择一种方法补全证明过程．

等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 $\text{[math]}$ 简写成“等角对等边” $\text{[math]}$ 已知：如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 求证： $\text{[math]}$ ．
甲的方法：证明：作 $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．	乙的方法：证明：作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．	丙的方法：证明：取 $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

实践探究题普通

等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 $\text{[math]}$ 简写成“等角对等边” $\text{[math]}$ 已知：如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 求证： $\text{[math]}$ ．
甲的方法：证明：作 $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．	乙的方法：证明：作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．	丙的方法：证明：取 $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．