如图所示，质量为、长为的长木板A静止在光滑的水平面上，质量为物块B放在长木板上表面的左端，半圆弧体竖直固定在长木板右侧某位置，半圆弧面最低点的切面与长木板上表面在同一水平面，质量为的小球C用长为的不可伸长细线悬于固定点点，将小球C拉至与点等高点，细线刚好伸直，由静止释放小球，小球运动到最低点时与物块发生碰撞，碰撞后一瞬间B、C的速度大小之比为，此后当B滑到长木板右端时A、B共速且此时A刚好与半圆弧体碰撞，A与半圆弧体碰撞后粘在一起，重力加速度为，不计物块的大小。求：

1. 如图所示，质量为 $\text{[math]}$ 、长为 $\text{[math]}$ 的长木板A静止在光滑的水平面上，质量为 $\text{[math]}$ 物块B放在长木板上表面的左端，半圆弧体竖直固定在长木板右侧某位置，半圆弧面最低点的切面与长木板上表面在同一水平面，质量为 $\text{[math]}$ 的小球C用长为 $\text{[math]}$ 的不可伸长细线悬于固定点 $\text{[math]}$ 点，将小球C拉至与 $\text{[math]}$ 点等高点，细线刚好伸直，由静止释放小球，小球运动到最低点时与物块发生碰撞，碰撞后一瞬间B、C的速度大小之比为 $\text{[math]}$ ，此后当B滑到长木板右端时A、B共速且此时A刚好与半圆弧体碰撞，A与半圆弧体碰撞后粘在一起，重力加速度为 $\text{[math]}$ ，不计物块的大小。求：

(1) B、C碰撞过程，B、C系统损失的机械能；

(2) 开始时，A的右端离半圆弧面最低点的水平距离；

(3) 要使B在轨道上运动时不脱离圆弧轨道，圆弧轨道的半径应满足的条件。

【考点】

机械能守恒定律; 碰撞模型;

【答案】

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解答题普通

1. 如图所示，质量为2m的半圆弧槽静止在光滑的水平面上，圆弧槽左端有固定在水平面上的竖直挡板，圆弧轨道位于竖直平面内且两端等高，半径为R，左半面AB弧光滑，右半面BC弧粗糙。一质量为m的小滑块从距槽顶端A的正上方P点处由静止释放，A与P点的高度差也为R，重力加速度为g。

(1) 求滑块第一次到达槽最低点B时的速度大小 $\text{[math]}$ 和受到的支持力大小N；

(2) 当滑块第一次到达槽右端C时，恰好与圆弧槽相对静止，求滑块第一次到达 C点前的过程系统损失的机械能；

(3) 若去除挡板，圆弧槽可在光滑的水平面上自由运动，仍在静止的圆弧槽顶端A的正上方P点处由静止释放滑块，求滑块第一次到达槽最低点B时，圆弧槽的速度大小。

解答题普通

2. 某同学为参加学校举行的遥控赛车比赛，利用如图所示装置练习遥控技术。水平直轨道 $\text{[math]}$ 与半径 $\text{[math]}$ 的光滑竖直圆轨道在 $\text{[math]}$ 点相切， $\text{[math]}$ 间的距离 $\text{[math]}$ 且对赛车的阻力恒为 $\text{[math]}$ 段光滑。水平地面距水平直轨道的竖直高度 $\text{[math]}$ 。该同学遥控质量 $\text{[math]}$ 的赛车以额定功率 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 点出发，沿水平直轨道运动到 $\text{[math]}$ 点时立刻关闭遥控器，赛车由 $\text{[math]}$ 点进入圆轨道，离开圆轨道后沿水平直轨道运动到 $\text{[math]}$ 点，并与质量 $\text{[math]}$ 的滑块发生正碰，碰撞时间极短，碰撞后赛车恰好能通过圆轨道，而滑块落在水平地面上 $\text{[math]}$ 点， $\text{[math]}$ 间的水平距离 $\text{[math]}$ 。赛车和滑块均可视为质点，不计空气阻力， $\text{[math]}$ 取 $\text{[math]}$ 。求：

（1）碰撞后滑块速度 $\text{[math]}$ 的大小；

（2）碰撞前瞬间赛车速度 $\text{[math]}$ 的大小；

（3）此过程中该同学遥控赛车的时间。

解答题普通

3. 已知质量为m₀的物体在受到 $\text{[math]}$ 的回复力作用下，将做简谐运动。如图，一竖直光滑的足够长圆管，内有一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧下端固定于地面上，上端与一质量为m的圆盘a相连，圆盘a静止时所在位置为O。另一质量为3m的圆盘b从距O高度为 $\text{[math]}$ 的P点由静止开始下落，与a发生碰撞，瞬间粘在一起向下运动，运动的最低点为Q。两圆盘厚度不计，半径相同且略小于圆管半径。在运动过程中，弹簧形变始终在弹性限度内，且当形变量为x时，弹性势能为 $\text{[math]}$ 。重力加速度为g，忽略一切阻力。求：

(1) 整个运动过程系统损失的机械能；

(2) 圆盘a、b碰后做简谐运动的振幅；

解答题普通