已知质量为m0的物体在受到的回复力作用下，将做简谐运动。如图，一竖直光滑的足够长圆管，内有一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧下端固定于地面上，上端与一质量为m的圆盘a相连，圆盘a静止时所在位置为O。另一质量为3m的圆盘b从距O高度为的P点由静止开始下落，与a发生碰撞，瞬间粘在一起向下运动，运动的最低点为Q。两圆盘厚度不计，半径相同且略小于圆管半径。在运动过程中，弹簧形变始终在弹性限度内，且当形变量为x时，弹性势能为。重力加速度为g，忽略一切阻力。求：

1. 已知质量为m₀的物体在受到 $\text{[math]}$ 的回复力作用下，将做简谐运动。如图，一竖直光滑的足够长圆管，内有一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧下端固定于地面上，上端与一质量为m的圆盘a相连，圆盘a静止时所在位置为O。另一质量为3m的圆盘b从距O高度为 $\text{[math]}$ 的P点由静止开始下落，与a发生碰撞，瞬间粘在一起向下运动，运动的最低点为Q。两圆盘厚度不计，半径相同且略小于圆管半径。在运动过程中，弹簧形变始终在弹性限度内，且当形变量为x时，弹性势能为 $\text{[math]}$ 。重力加速度为g，忽略一切阻力。求：

(1) 整个运动过程系统损失的机械能；

(2) 圆盘a、b碰后做简谐运动的振幅；

【考点】

机械能守恒定律; 碰撞模型;

【答案】

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解答题普通

1. 如图所示，在高 $\text{[math]}$ 的光滑水平平台上，物块P以初速度 $\text{[math]}$ 水平向右运动，与静止在水平平台上的物块Q发生碰撞（物块P、Q均可视为质点）， $\text{[math]}$ ，碰撞后物块P静止，物块Q以一定的水平速度向右滑离平台，并恰好沿光滑圆弧形轨道BC的B点的切线方向进入圆弧形轨道，B点的高度 $\text{[math]}$ ，圆弧轨道的圆心O与平台等高，轨道最低点C的切线水平，并与地面上长为L＝70m的水平粗糙轨道CD平滑连接，物块Q沿轨道BCD运动与右边墙壁发生碰撞。不计空气阻力，g取10 $\text{[math]}$ 。求：

(1) 物块Q由A运动到B的时间；

(2) 物块P初速度 $\text{[math]}$ 的大小；

(3) 物块Q经过圆弧C点时对轨道的压力；

(4) 若物块Q与墙壁只发生一次碰撞，碰后速度等大反向，反向运动过程中没有冲出B点，最后停在轨道CD上的某点M（M点未画出）。设物块Q与轨道CD之间的动摩擦因数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围。

解答题困难

2. 如图所示，木板B停在光滑水平面上，其质量 $\text{[math]}$ 、长 $\text{[math]}$ 。木板左端靠着一半径 $\text{[math]}$ 的光滑圆弧轨道（木板与圆弧轨道不粘连）。圆弧轨道的最左侧为 $\text{[math]}$ 点，圆弧的最底端 $\text{[math]}$ 点切线水平， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角60°， $\text{[math]}$ 点与木板B上表面等高。木板B右侧 $\text{[math]}$ 处有一与木板等高的固定平台，平台上表面光滑，其上放置有质量 $\text{[math]}$ 的圆弧形工件槽C，底端切线水平，半径为 $\text{[math]}$ ，上端与底端的高度差为 $\text{[math]}$ 。现有一质量 $\text{[math]}$ ，可以看作质点的滑块A从 $\text{[math]}$ 点以初速度 $\text{[math]}$ 沿圆弧轨道切线进入圆弧轨道。滑块A下滑至圆弧轨道最低点 $\text{[math]}$ 处后，滑上木板B，带动B向右运动，B与平台碰撞后即粘在一起不再运动。A随后继续向右运动，滑上平台，随后滑上圆弧工件槽C。A和圆弧工件槽C在随后运动过程中一直没有离开平台。A与木板B间动摩擦因数为 $\text{[math]}$ 。忽略空气阻力，重力加速度 $\text{[math]}$ ，求：

(1) 滑块A到达 $\text{[math]}$ 点时，对轨道压力的大小；

(2) 滑块A滑上右边平台时速度的大小；

(3) 滑块A滑上圆弧工件槽C后，要使滑块不从工件槽的上端滑出，则工件槽C的半径 $\text{[math]}$ 应该满足什么条件？

解答题普通

3. 如图所示，质量分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的滑块A、B位于光滑水平面上，现使滑块A以 $\text{[math]}$ 的速度向右运动，与左侧连有轻弹簧的滑块B发生碰撞．求二者在发生碰撞的过程中．

(1) 弹簧的最大弹性势能；

(2) 滑块 $\text{[math]}$ 的最大动能。

解答题普通