如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠底面圆周长为C.

1. 如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠底面圆周长为C.

(1) 求球冠所在球的半径R(结果用h､r表示)；

(2) 已知球冠表面积公式为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值及球冠所在球的表面积.

【考点】

旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征; 球的表面积与体积公式及应用;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E、F分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点.

(1) 求直线 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离；

(2) 在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在一点M，使得直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值是 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值，若不存在，说明理由；

(3) 在平面 $\text{[math]}$ 内是否存在点H，满足 $\text{[math]}$ ，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H的轨迹图形形状.

解答题普通

2. 四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为等腰梯形， $\text{[math]}$ ，侧面 $\text{[math]}$ 为正三角形；

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，线段 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．

(2) 当 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角最大时，求三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球的体积．

解答题困难

3. 如图，三棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为2的等边三角形， $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积；

(2) 若异面直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ （不含端点）上的一个动点，平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题困难