如图，在△ABC中，、分别是边、上的高线，取的中点为点F ，连结DE ， DF ，取的中点为点G ．

1. 如图，在△ABC中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的高线，取 $\text{[math]}$ 的中点为点F ，连结DE ， DF ，取 $\text{[math]}$ 的中点为点G ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 当∠A＝60°时，求证：△DEF是等边三角形；

(3) 在（2）的条件下，当BC =4时，求FG的长．

【考点】

等边三角形的判定与性质; 等腰三角形的性质-三线合一;

【答案】

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解答题容易

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 垂直 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的任意一点，过 $\text{[math]}$ 点分别作 $\text{[math]}$ ，垂足分别为 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边中点，则 $\text{[math]}$ 三条线段有何数量关系（写出推理过程）？

(2) 若 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上任意一点，则（1）中关系还成立吗？

解答题普通

2. 如图， $\text{[math]}$ 为等边三角形， $\text{[math]}$ 交AC于点D， $\text{[math]}$ 交AB于点E．

(1) 求证： $\text{[math]}$ 是等边三角形；

(2) 求证： $\text{[math]}$ ．

解答题普通

3. 如图，等边 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，现有两动点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为 $\text{[math]}$ ，点N的速度为 $\text{[math]}$ ，当点N第一次到达点B时，点M、N同时停止运动．

(1) 点M、N运动几秒后，M、N两点重合？

(2) 点M、N运动几秒后，以点A、 $\text{[math]}$ 、N为顶点的三角形是等边三角形？

(3) 当点M、N在边BC上运动时，连接 $\text{[math]}$ ，能否得到以 $\text{[math]}$ 为底边的等腰三角形 $\text{[math]}$ ？如能，请求出此时点M、N运动的时间．

解答题普通