我们不妨称为“长梅点”，例如就是“长梅点”．请根据约定回答下列问题．

1. 我们不妨称 $\text{[math]}$ 为“长梅点”，例如 $\text{[math]}$ 就是“长梅点”．请根据约定回答下列问题．

(1) 下列函数图象中存在“长梅点”的是________．

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ．

(2) 在反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象上存在三点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都是“长梅点”且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

(3) 设 $\text{[math]}$ 是二次函数 $\text{[math]}$ 图象上的“长梅点”，一次函数 $\text{[math]}$ 与二次函数 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ （不妨设 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的左边），如果始终保持 $\text{[math]}$ ，那么这样的一次函数是否经过某个定点，如果存在这样的定点，请直接写出它的坐标；如果不存在这样的定点，请说明理由．

【考点】

相似三角形的判定与性质; 二次函数-相似三角形的存在性问题;

【答案】

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解答题困难

1. 在△ABC中，∠ACB＝90°，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．

猜想：如图①，点D在BC边上，BD：BC＝2：3，AD与BE相交于点P，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，则 $\text{[math]}$ 的值为　　．

探究：如图②，点D在BC的延长线上，AD与BE的延长线交于点P，CD：BC＝1：2，求 $\text{[math]}$ 的值．

应用：在探究的条件下，若CD＝2，AC＝6，则BP＝　　．

解答题普通

2. 为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为 $\text{[math]}$ 的视力表，但两面墙的距离只有 $\text{[math]}$ ．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙．

(1) 甲生的方案：如图①，根据测试距离为 $\text{[math]}$ 的大视力表制作一个测试距离为 $\text{[math]}$ 的小视力表．如果大视力表中“E”的高是 $\text{[math]}$ ，那么小视力表中相应“E”的高是多少？

(2) 乙生的方案：使用平面镜来解决房间小的问题．如图②，若使墙面镜子能呈现完整的视力表，由平面镜成像原理，作出了光路图，其中视力表 $\text{[math]}$ 的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜 $\text{[math]}$ 的上下边沿反射后射入人眼C处．如果视力表的全长为 $\text{[math]}$ ，请计算出镜长至少为多少米．

解答题普通

3. 如图， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通