已知函数， .

1. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 如果函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线，也是 $\text{[math]}$ 的切线，求实数 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 存在极小值 $\text{[math]}$ ，试求 $\text{[math]}$ 的范围.

【考点】

导数的几何意义; 利用导数研究函数的极值; 利用导数研究函数最大（小）值;

【答案】

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解答题困难

1. 函数 $\text{[math]}$ 的图象在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ 的值；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的极值.

解答题普通

2. 在平面直角坐标系中，已知射线OA：x﹣y＝0（x≥0），OB：2x+y＝0（x≥0）．过点P（1，0）作直线分别交射线OA，OB于点A，B．

(1) 当AB的中点在直线x﹣2y＝0上时，求直线AB的方程；

(2) 当△AOB的面积取最小值时，求直线AB的方程；

(3) 当|PA|•|PB|取最小值时，求直线AB的方程．

解答题普通

3. 在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C： $\text{[math]}$ 上的曲线段 $\text{[math]}$ ，其弧长为 $\text{[math]}$ ，当动点从A沿曲线段 $\text{[math]}$ 运动到B点时，A点的切线 $\text{[math]}$ 也随着转动到B点的切线 $\text{[math]}$ ，记这两条切线之间的夹角为 $\text{[math]}$ （它等于 $\text{[math]}$ 的倾斜角与 $\text{[math]}$ 的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义 $\text{[math]}$ 为曲线段 $\text{[math]}$ 的平均曲率；显然当B越接近A，即 $\text{[math]}$ 越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义 $\text{[math]}$ （若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示 $\text{[math]}$ 在点A处的一阶、二阶导数）

(1) 求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；

(2) 求椭圆 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的曲率；

(3) 定义 $\text{[math]}$ 为曲线 $\text{[math]}$ 的“柯西曲率”．已知在曲线 $\text{[math]}$ 上存在两点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难