综合与实践课上，老师证同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．

1. 综合与实践课上，老师证同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．

(1) 【操作判断】操作一：对折正方形纸片 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，得到折痕 $\text{[math]}$ ，把纸片展平；操作二：在 $\text{[math]}$ 上选一点P，沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接 $\text{[math]}$ ．当点M在 $\text{[math]}$ 上时，写出图1中 $\text{[math]}$ 的值：______．

(2) 【迁移探究】将正方形纸片 $\text{[math]}$ 按照“操作判断”中的方式操作，并延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点Q，连接 $\text{[math]}$ ，改变点P在 $\text{[math]}$ 上的位置（点P不与点A、D重合），如图2，判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由．

(3) 【拓展应用】在“迁移探究”中，已知正方形纸片 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

直角三角形全等的判定-HL; 勾股定理; 矩形的性质; 正方形的性质;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，点E，F在CD上，且 $\text{[math]}$ .

(1) 求证：Rt $\text{[math]}$ .

(2) 连结AF，若 $\text{[math]}$ ，求AF的长度.

解答题普通

2. 如图，长方形纸片 $\text{[math]}$ 的边长 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．将矩形纸片沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，折叠后在其一面着色．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 求图中阴影部分的面积．

解答题普通

3. 如图所示，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

(1) 如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 边上的点，将矩形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ______ $\text{[math]}$ 用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中，利用勾股定理列方程，可求得 $\text{[math]}$ ______．

(2) 如图 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折至 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求此时 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的一点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折至 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 边于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，请直接写出此时 $\text{[math]}$ 的长．

解答题困难