已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，销售收入为万元，且（注：年利润年销售收入年总成本）

1. 已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装 $\text{[math]}$ 千件并全部销售完，销售收入为 $\text{[math]}$ 万元，且 $\text{[math]}$ （注：年利润 $\text{[math]}$ 年销售收入 $\text{[math]}$ 年总成本）

(1) 写出年利润 $\text{[math]}$ （万元）关于年产量 $\text{[math]}$ （千件）的函数解析式；

(2) 求公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大时的年产量.

【考点】

分段函数的解析式求法及其图象的作法; 导数在最大值、最小值问题中的应用; 基本不等式在最值问题中的应用;

【答案】

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解答题普通

1. 已知 $\text{[math]}$ .定义 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ，画出函数 $\text{[math]}$ 的图象并直接写出函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；

(2) 定义区间 $\text{[math]}$ 的长度 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .设关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 的解集为 $\text{[math]}$ .是否存在实数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ?若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由.

解答题困难

2. 根据《中华人民共和国道路交通安全实施条例》第78条规定，高速公路应当标明车道的行驶速度，某高速公路标明，正常行驶车辆的最高车速不能超过120km/h，最低车速不能低于60km/h，设计该高速公路时，还要求安全车距S（单位：米）应随着车速v（单位km/h）的增大而增大，且满足关系 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （单位：米）表示该高速公路的最小车距是定值．

(1) 求最小车距 $\text{[math]}$ ；

(2) 若车速v（单位：km/h）与每小时车流量Q满足关系 $\text{[math]}$ ，则这条高速公路每小时车流量最大时，安全车距S至少为多少米？

解答题普通

3. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 的极值；

(2) 若 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数a的取值范围．

解答题困难