已知点，，动点满足，动点的轨迹为记为.

1. 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 的轨迹为记为 $\text{[math]}$ .

(1) 求轨迹 $\text{[math]}$ 的方程.

(2) 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，且点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 轴的距离 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 内切圆的半径的取值范围.

(3) 若直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的左、右顶点，设直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，试问 $\text{[math]}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

【考点】

椭圆的标准方程; 椭圆的简单性质; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题普通

1. 由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.设椭圆 $\text{[math]}$ 的“特征三角形”为 $\text{[math]}$ ，椭圆 $\text{[math]}$ 的“特征三角形”为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则称椭圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ “相似”，并将 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的相似比称为椭圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的相似比.已知椭圆 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相似.

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率；

(2) 若椭圆 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 的相似比为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上异于其左､右顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的一点.过 $\text{[math]}$ 分别作椭圆 $\text{[math]}$ 的两条切线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，切点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 为定值；

解答题普通

2. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 长轴长为4，且椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ ，其左右焦点分别为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 设斜率为 $\text{[math]}$ 且过 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ 的面积．

解答题困难

3. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左，右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，上顶点为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的离心率；

(2) 射线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长．

解答题困难