如图所示，倾角为θ=53°的金属导轨MN和的上端有一个单刀双掷开关K，当开关与1连接时，导轨与匝数n=100匝、横截面积S=0.04m2的圆形金属线圈相连，线圈总电阻r=0.2Ω，整个线圈内存在垂直线圈平面的匀强磁场B0且磁场随时间均匀变化。当开关与2连接时，导轨与一个阻值为R1=0.3Ω的电阻相连。水平轨道的至间是绝缘带，其它部分导电良好，最右端串接一定值电阻R2=0.2Ω。两轨道长度均足够长，宽度均为L=1m，在处平滑连接。导轨MN和的平面内有垂直斜面向下的匀强磁场，磁感应强度大小B1=0.2T；整个水平轨道上有方向竖直向上，磁感应强度大小为B2=1T的匀强磁场。现开关与1连接时，一根长度为L的导体棒a恰好静止在倾斜导轨上；某时刻把开关迅速拨到2，最后a棒能在倾斜轨道上匀速下滑。导体棒b一开始被锁定（锁定装置未画出），且到位置的水平距离为d=0.24m。棒a与棒b的质量均为m=0.1kg，电阻均为R=0.2Ω，所有导轨均光滑且阻值不计。求：

1. 如图所示，倾角为θ=53°的金属导轨MN和 $\text{[math]}$ 的上端有一个单刀双掷开关K，当开关与1连接时，导轨与匝数n=100匝、横截面积S=0.04m²的圆形金属线圈相连，线圈总电阻r=0.2Ω，整个线圈内存在垂直线圈平面的匀强磁场B₀且磁场随时间均匀变化。当开关与2连接时，导轨与一个阻值为R₁=0.3Ω的电阻相连。水平轨道的 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ 间是绝缘带，其它部分导电良好，最右端串接一定值电阻R₂=0.2Ω。两轨道长度均足够长，宽度均为L=1m，在 $\text{[math]}$ 处平滑连接。导轨MN和 $\text{[math]}$ 的平面内有垂直斜面向下的匀强磁场，磁感应强度大小B₁=0.2T；整个水平轨道上有方向竖直向上，磁感应强度大小为B₂=1T的匀强磁场。现开关与1连接时，一根长度为L的导体棒a恰好静止在倾斜导轨上；某时刻把开关迅速拨到2，最后a棒能在倾斜轨道上匀速下滑。导体棒b一开始被锁定（锁定装置未画出），且到 $\text{[math]}$ 位置的水平距离为d=0.24m。棒a与棒b的质量均为m=0.1kg，电阻均为R=0.2Ω，所有导轨均光滑且阻值不计。求：

(1) 求圆形线圈内磁场随时间的变化率 $\text{[math]}$ ；

(2) 棒a滑至 $\text{[math]}$ 时的速度大小v₁；

(3) 棒a与棒b碰撞前，棒a的速度大小v₂；

(4) 棒a与棒b碰撞前瞬间，立即解除对棒b的锁定，两棒碰后粘连在一起。从棒a进入水平轨道，至两棒运动到最终状态，定值电阻R₂上产生的焦耳热Q是多少。

【考点】

电磁感应中的动力学问题; 电磁感应中的能量类问题;

【答案】

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解答题普通

1. 如图所示的装置左侧是法拉第圆盘发电机，其细转轴竖直安装。内阻不计、半径 $\text{[math]}$ 的金属圆盘盘面水平，处于竖直向上的匀强磁场 $\text{[math]}$ 中，磁感应强度 $\text{[math]}$ 。圆盘在外力作用下以角速度 $\text{[math]}$ 逆时针（俯视）匀速转动，圆盘的边缘和转轴分别通过电刷a、b与光滑水平导轨 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相连，导轨间距 $\text{[math]}$ 。在导轨平面内以O点为坐标原点建立坐标系xOy，x轴与导轨平行。 $\text{[math]}$ 区域内存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度 $\text{[math]}$ ，导电性能良好的导轨上放置着一根质量 $\text{[math]}$ 、电阻 $\text{[math]}$ 的金属棒，金属棒离y轴足够远； $\text{[math]}$ 区域内存在竖直向下磁场，磁感应强度 $\text{[math]}$ ，导轨由绝缘材料制成，导轨上紧贴y轴放置着一U型金属框，其质量 $\text{[math]}$ 、电阻为3R、长度为L、宽度 $\text{[math]}$ 。不计其它一切电阻。

(1) 比较a、b两点电势的高低，并计算闭合开关瞬间通过金属棒的电流I；

(2) 从闭合开关到金属棒刚达到最大速度时（此时金属棒未离开 $\text{[math]}$ 磁场区），求此过程通过金属棒的电量q和维持圆盘匀速转动外力所做的功W；

(3) 若此后金属棒和金属框发生完全非弹性碰撞，求金属棒最终停下来时的位置坐标x。

解答题困难

2. 如图所示，两条足够长、相距 $\text{[math]}$ 的倾斜金属导轨上端接一阻值为 $\text{[math]}$ 的定值电阻，导轨的倾角为 $\text{[math]}$ ，虚线 $\text{[math]}$ 下侧存在垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为 $\text{[math]}$ （未知）的匀强磁场，导轨下端与水平金属轨道平滑连接，水平轨道存在竖直向上、磁感应强度大小也为 $\text{[math]}$ 的匀强磁场。将一质量为 $\text{[math]}$ 、电阻为 $\text{[math]}$ 的金属杆从虚线 $\text{[math]}$ 右上方 $\text{[math]}$ 处由静止释放，金属杆进入磁场后恰好做匀速直线运动，金属杆从 $\text{[math]}$ 进入水平轨道后最终停在水平轨道上。整个过程金属杆和导轨始终垂直且接触良好，不计导轨电阻及摩擦，重力加速度大小为 $\text{[math]}$ 。求：

（1）金属杆进入磁场时的速度大小 $\text{[math]}$ ；

（2）匀强磁场磁感应强度大小 $\text{[math]}$ ；

（3）金属杆从 $\text{[math]}$ 进入水平轨道后运动的距离 $\text{[math]}$ 。

解答题普通

3. 如图所示，水平桌面上有一边长为 $\text{[math]}$ 的正方形单匝导线框，竖直向下的磁场垂直穿过正方形导线框，磁感应强度 $\text{[math]}$ 。该导线框右侧通过导线与固定光滑的平行金属导轨 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 连接，与 $\text{[math]}$ 相连的导线中串有开关S。平行金属导轨 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别与平行金属导轨 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相连接，连接处平滑且绝缘，导轨间距均为 $\text{[math]}$ ，且与导线框在同一水平面上。导轨 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 所在的空间分为三个区域，区域I、III内分别存在竖直方向的匀强磁场 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，区域II处无磁场。质量为 $\text{[math]}$ 、电阻为 $\text{[math]}$ 的导体棒 $\text{[math]}$ 静置于区域I的左侧边界处（考虑边界上磁场）；质量为 $\text{[math]}$ 、电阻为 $\text{[math]}$ 的导体棒 $\text{[math]}$ 静置于区域II中导轨连接处的右侧的某位置。 $\text{[math]}$ 时闭合开关S，导体棒 $\text{[math]}$ 运动到区域I右边界时已达到稳定状态，进入区域II后与导体棒 $\text{[math]}$ 发生弹性碰撞。求：

(1) 导体棒 $\text{[math]}$ 在区域I中运动时的最大速度；

(2) 若最终导体棒 $\text{[math]}$ 未离开区域III，则区域III的面积至少为多少。

解答题普通