如图所示，在光滑水平轨道右侧固定一个竖直半圆轨道，半圆轨道与水平轨道相切于点且平滑连接。半圆轨道的圆心为，半径，水平。质量的小球从点以6m/s的水平初速度向运动，小球经点后沿竖直半圆轨道运动，恰好在圆轨道上的点离开轨道，与的夹角为。空气阻力不计，，，。求：

1. 如图所示，在光滑水平轨道 $\text{[math]}$ 右侧固定一个竖直半圆轨道 $\text{[math]}$ ，半圆轨道与水平轨道相切于 $\text{[math]}$ 点且平滑连接。半圆轨道的圆心为 $\text{[math]}$ ，半径 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 水平。质量 $\text{[math]}$ 的小球从 $\text{[math]}$ 点以6m/s的水平初速度向 $\text{[math]}$ 运动，小球经 $\text{[math]}$ 点后沿竖直半圆轨道运动，恰好在圆轨道上的 $\text{[math]}$ 点离开轨道， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ 。空气阻力不计， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 。求：

(1) 小球在 $\text{[math]}$ 点的向心加速度大小；

(2) 小球在圆弧轨道上损失的机械能；

(3) 小球在整个过程中能够到达的最高点与 $\text{[math]}$ 的竖直高度。

【考点】

竖直平面的圆周运动; 机械能守恒定律;

【答案】

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解答题困难

1. 如图甲所示，ABC是竖直放置的内壁光滑的细长玻璃管，管的内径可不计。其中AB部分长为 $\text{[math]}$ ， BC部分为半径 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 光滑圆弧弯管，管口C端的切线水平，且在上、下两侧接有力传感器 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 。管口A的下方固定一个弹簧，现将一个质量 $\text{[math]}$ 的小球放置在弹簧上，小球的直径略小于管的内径。向下压缩弹簧，使小球与A在同一水平面上，松手后可以将小球弹出，不计小球与管壁碰撞时的能量损失，取重力加速度 $\text{[math]}$ 。求：

(1) 当小球运动到C处时，力传感器 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的示数恰好均为0N，则小球运动到C处时的速度 $\text{[math]}$ ；

(2) 在（1）问中，弹簧的弹性势能 $\text{[math]}$ ；

(3) 某同学发现通过调节弹簧压缩的长度多次释放小球，传感器 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 的示数会有不同。试讨论弹簧弹性势能 $\text{[math]}$ 与传感器 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 的示数 $\text{[math]}$ 的关系，并在图乙的坐标系中画出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系图像。

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2. 如图所示，竖直平面内的 $\text{[math]}$ 圆弧形光滑管道半径略大于小球半径，管道中心到圆心距离为R，A端与圆心O等高，AD 为水平面，B端在O 的正下方，小球自 A 点正上方由静止释放，自由下落至 A 点时进入管道

(1) 如果管道与小球接触的内侧壁（图中较小的 $\text{[math]}$ 圆周）始终对小球没有弹力，小球释放点距离A点的最小高度为多大?

(2) 如果小球到达B点时，管壁对小球的弹力大小为小球重力大小的9倍。求：

a. 小球运动到管道最高点E时对管道的弹力；

b. 落点C与A的水平距离。

解答题困难

3. 如下图是阿毛同学的漫画中出现的装置，描述了一个“吃货”用来做“糖炒栗子”的“萌”事儿：将板栗在地面小平台上以一定的初速经两个四分之一圆弧衔接而成的轨道，从最高点P飞出进入炒锅内，利用来回运动使其均匀受热．我们用质量为m的小滑块代替栗子，借这套装置来研究一些物理问题．设大小两个四分之一圆弧半径为2R和R，小平台和圆弧均光滑．将过锅底的纵截面看作是两个斜面AB、CD和一段光滑圆弧BC组成，滑块与斜面间的动摩擦因数为0.25，且不随温度变化．两斜面倾角均为 $\text{[math]}$ ， AB=CD=2R，A、D等高，D端固定一小挡板，碰撞不损失机械能．滑块的运动始终在包括锅底最低点的竖直平面内，重力加速度为g．

（1）如果滑块恰好能经P点飞出，为了使滑块恰好沿AB斜面进入锅内，应调节锅底支架高度使斜面的A、D点离地高为多少？

（2）接（1）问，试通过计算用文字描述滑块的运动过程．

（3）对滑块的不同初速度，求其通过最高点P和小圆弧最低点Q时受压力之差的最小值．

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