如图1，矩形中，，，为矩形的对角线，的平分线交的延长线于点．点是线段上的动点，以为对角线作正方形（点，，，按逆时针方向排列）．

1. 如图1，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为矩形 $\text{[math]}$ 的对角线， $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的动点，以 $\text{[math]}$ 为对角线作正方形 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 按逆时针方向排列）．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图2，若点G落在 $\text{[math]}$ 边上，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 在点F的运动过程中，是否存在某一位置，使得正方形 $\text{[math]}$ 的某边落在 $\text{[math]}$ 的一边上？若存在，直接写出 $\text{[math]}$ 的长？若不存在，请说明理由．

【考点】

正方形的性质; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内， $\text{[math]}$ ，点D、E、F分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求正方形的面积．

解答题普通

2. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的顶点D ， E在边BC上，点F ， G分别在边AC ， AB上．

(1) 求证：△DBG∽△EFC ．

(2) 若BD＝4，CE＝3，求DE的长．

解答题普通

3. 如图，正方形MNPQ的顶点在三角形ABC的边上，当边BC的长a与高AD的长h满足什么条件时，正方形MNPQ的面积是三角形ABC面积的一半？

解答题普通