如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，为反比例函数图象第四象限上的一点．

1. 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为反比例函数图象第四象限上的一点．

(1) 求反比例函数的表达式及点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积相等时，求此时点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) 我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂等四边形”．设点 $\text{[math]}$ 是平面内一点，是否存在这样的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，使四边形 $\text{[math]}$ 是“垂等四边形”，且该四边形的两条对角线相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】

反比例函数与一次函数的交点问题; 等腰三角形的判定与性质; 相似三角形的性质; 解直角三角形;

【答案】

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解答题困难

1. 已知一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求一次函数和反比例函数的表达式；

(2) 若点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，且 $\text{[math]}$ 为等腰三角形，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) 我们定义有一个内角为 $\text{[math]}$ 的三角形称为“半直角三角形”，这个 $\text{[math]}$ 角所对的边为“半直角边”．反比例函数 $\text{[math]}$ 在第四象限的图象上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 是不以 $\text{[math]}$ 为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

解答题困难

2. 如图，已知反比例函数 $\text{[math]}$ 与一次函数 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， N两点．

(1) 求M，N两点的坐标；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的面积？

(3) 若反比例函数在第一象限上存在一点P，使得 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为腰的等腰三角形，求P点坐标？

解答题普通

3. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图绳交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点A作 $\text{[math]}$ 轴，垂足为M， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点B的纵坐标为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求反比例函数表达式和一次函数的解析式；

(2) 直接写出当 $\text{[math]}$ 时，自变量的取值范围；

(3) 连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；

(4) 已知点P为图中双曲线上的一点，而且 $\text{[math]}$ ，请直接写出点P的坐标．

解答题普通