阅读材料：把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，…，如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：32→32+22=13→12+32=10→l2+02=1，所以32是快乐数．根据上述材料，解决以下问题：

1. 阅读材料：把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，…，如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：32→3²+2²=13→1²+3²=10→l²+0²=1，所以32是快乐数．根据上述材料，解决以下问题：

(1) 试说明：19是“快乐数”；

(2) 若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数”．

【考点】

定义新运算; 列方程解含有多个未知数的应用题;

【答案】

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解决问题困难

1. 将一个三位正整数n各数位上的数字重新排列后(含n本身)得到新三位数 $\text{[math]}$ 在所有重新排列中，当 $\text{[math]}$ 最小时，我们称 $\text{[math]}$ 是n的“调和优选数”，并规定F(n) $\text{[math]}$ 例如215可以重新排列为125，152、215，因为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 所以125是215的是“调和优选数”， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

(1) $\text{[math]}$

(2) 如果在正整数n的三个数位上的数字中，有一个数是另外两个数的平均数，求证：F(n)是一个完全平方数。

(3) 设三位自然数 $\text{[math]}$ ， x，y为自然数)交换其个位上的数字与百位上的数字得到数t'，若 $\text{[math]}$ ，那么我们称t为“和顺数”.求所有“和顺数”中F(t)的最大值。

解决问题困难

2. 对于一个大于100的整数，若将它的后两位之前的数移到个位之后，重新得到一个新数，称之为原数的“兄弟数”。比如：2017的兄弟数为1720，158的兄弟数为581。根据以上阅读材料，回答下列问题。

(1) 求证：一个三位数与其兄弟数之差一定能被9整除；

(2) 已知一个六位数的兄弟数恰好是原六位数4倍，求满足条件的原六位数。

解决问题普通

3. 把1、2、3、4、5……10这10个正整数，按照一定的顺序填入从左到右分别标记为1到10的10个空位中，选中两个不同的空位记为“对”，如选中2号位和5号位，此时标号小的数位中的数，如果小于标号大的数位中的数，则称这是顺序对，否则称为逆序对。

(1) 10个位置会产生多少个“对”？

(2) 把1到10，按照1、3、5、7、9、2、4、6、8、10的顺序填入，一共有多少个顺序对？

(3) 有没有一种填数方法可以使得顺序对比逆序对恰好多偶数个？

解决问题普通