一列由小到大有规律排列的数：3，15，24，48，…，满足下列两个性质：①每一项都能被3整除；②每一项都是一个平方数和1的差．求：

1. 一列由小到大有规律排列的数：3，15，24，48，…，满足下列两个性质：①每一项都能被3整除；②每一项都是一个平方数和1的差．求：

(1) 排列在第7个位置的数是多少？

(2) 排列在第2025个位置的数是多少？

(3) 探索这列数排在第n(n≥1，是正整数)个位置的规律．

【考点】

探索数与式的规律;

【答案】

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解答题困难

1. 观察下列三行数：

$\text{[math]}$ ， …；①

$\text{[math]}$ ， …；②

$\text{[math]}$ ， …；③

(1) 第①行数的第7个数是_________；第n个数是_________；

(2) 第②行数的第7个数是_________；第n个数是_________；第③行数的第7个数是_________；第10个数是_________；

(3) 取每行数的第k个数，求这三个数的和．

解答题普通

2. $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ …

(1) 第5个式子是；第n个式子是．

(2) 从计算结果中找规律，利用规律计算： $\text{[math]}$ ；

(3) 计算：（由此拓展写出具体过程）： $\text{[math]}$

解答题普通

3. 材料一：杨辉三角两腰上的数都是 $\text{[math]}$ ，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，揭示了 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律，运用规律可以解决很多数学问题．材料二：斐波那契数列是意大利数学家菜昂纳多—斐波那契从兔子繁殖问题中引入的一列神奇数字，用 $\text{[math]}$ 表示这一列数中的第 $\text{[math]}$ 个，则数列为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …，数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为正整数）．结合材料，回答以下问题：

(1) 多项式 $\text{[math]}$ 展开式共有________项，各项系数和为________，利用展开式规律计算： $\text{[math]}$ ________；

(2) 我们借助杨辉三角中第三斜行的数： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， 10，…记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …则 $\text{[math]}$ ________； $\text{[math]}$ ________（用 $\text{[math]}$ 表示）： $\text{[math]}$ ________．

(3) 如图2，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，结合材料二，求 $\text{[math]}$ 的值（用 $\text{[math]}$ 表示）．

解答题困难