如图，直线与抛物线相交于和．

1. 如图，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，交抛物线于点 $\text{[math]}$ ．是否存在这样的 $\text{[math]}$ 点，使线段 $\text{[math]}$ 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；

(3) $\text{[math]}$ 轴上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为等腰三角形？若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 等腰三角形的判定与性质; 二次函数-线段周长问题; 二次函数-特殊三角形存在性问题;

【答案】

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解答题困难

1. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴 $\text{[math]}$ 交x轴于点E，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 直接写出a的值，点A的坐标；

(2) 若点M是抛物线对称轴 $\text{[math]}$ 上的点，当 $\text{[math]}$ 是等腰三角形时，求点M的坐标；

(3) 点P是抛物线上的动点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点 $\text{[math]}$ 处．直接写出点 $\text{[math]}$ 恰好落在直线 $\text{[math]}$ 上时点P的横坐标．

解答题困难

2. 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 $\text{[math]}$ 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，如图所示：抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 求抛物线的解析式；

(3) 在抛物线上是否还存在点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 除外），使 $\text{[math]}$ 仍然是以 $\text{[math]}$ 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

解答题困难

3. 已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点（1，0），（-1，4）.

(1) 试确定此二次函数的解析式；

(2) 求出此抛物线的顶点坐标.

解答题普通