综合与实践课上，徐老师和同学们开展了一场以“最小值”为主题的探究活动．【提出问题】徐老师提出了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，，， P为AD边上的一动点，以PC为边向右作等边，连接BE ，如何求BE的最小值?【探究发现】小亮发现：如图4所示，以BC为边向下构造一个等边，便可得到，进而将BE的最小值转化为PM的最小值的问题．

1. 综合与实践课上，徐老师和同学们开展了一场以“最小值”为主题的探究活动．

【提出问题】徐老师提出了一个问题：如图1，在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， P为AD边上的一动点，以PC为边向右作等边 $\text{[math]}$ ，连接BE ，如何求BE的最小值?

【探究发现】小亮发现：如图4所示，以BC为边向下构造一个等边 $\text{[math]}$ ，便可得到 $\text{[math]}$ ，进而将BE的最小值转化为PM的最小值的问题．

(1) 按照小明的想法，求证： $\text{[math]}$ ；并求出BE的最小值．

(2) 【拓展应用】

小刚受此启发，举一反三，提出新问题：如图2，若将图1当中构造的等边三角形，改为以PC为边向右构造正方形PCFG ，在运动过程中，求出BG的最小值．

(3) 小红同学深入研究了小刚的问题，并又提出了新的问题：如图3，若将图2当中构造的正方形改为以PC为边向右构造菱形PCHI ，使 $\text{[math]}$ ，也可求得BI的最小值．请你直接写出BI最小值为．

【考点】

垂线段最短及其应用; 四边形的综合; 四边形-动点问题;

【答案】

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实践探究题困难

1. 【问题背景】如图①，在四边形ABCD中，∠A和∠C称为它的对角，若这个四边形满足：∠A+∠C＝180°，则这个四边形叫做为“对角互补四边形”．

【问题解决】

(1) 若四边形ABCD是“对角互补四边形”，且∠B＝3∠D，求∠B的度数；

(2) 如图②，∠MON＝60°，OB平分∠MON，A是射线ON上一动点，C是射线OM上的动点，且四边形COAB是“对角互补四边形”．

①若△COB是等腰三角形，求∠BAN的度数；

②若OB＝m，若S_△BOC：S_△BOA＝n，求OC的长（用含m、n的代数式表示）．

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2. 【提出问题】

如图，在人教版八年级下册数学教材第18章平行四边形的复习题中有这样一道题：

求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的 ▲ ．（此空不填）

小红在探究该问题时从特殊的平行四边形开始，请你跟随小红的思路，帮她完成下列问题：

(1) 【探究问题】①在正方形ABCD中，设其边长为a ，则对角线AC ， BD和a的数量关系有：AC²＋BD²＝；

②在菱形ABCD中，设其边长为a ，则对角线AC ， BD和a的数量关系有：AC²＋BD²＝；

③在矩形ABCD中，设AB＝a ， BC＝b ，则对角线AC ， BD和a ， b 的数量关系有：AC²＋BD²＝；

(2) 【解决问题】如图1，在▱ABCD中，设AB＝a ， BC＝b ，猜想对角线AC ， BD和a ， b的数量关系有：AC²＋BD²＝ ▲ 并证明你的结论；

(3) 【知识应用】如图2，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝9，CD＝8，AD＝6，∠ADC＝90°，点M为BC的中点，求AM的长．

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3. 问题提出

如图1，点F是正方形 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 的角平分线交边 $\text{[math]}$ 于点E ，探究线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的数量关系.

(1) 问题探究

先将图1问题特殊化，如图2，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接写出下列线段的长度， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

(2) 如图1，再探究一般情形中线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明你的结论；

(3) 问题拓展
如图3，四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点F在 $\text{[math]}$ 的延长线上， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E ， $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的长度.

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