问题提出如图1，点F是正方形边上一点，的角平分线交边于点E ，探究线段，和之间的数量关系.

1. 问题提出

如图1，点F是正方形 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 的角平分线交边 $\text{[math]}$ 于点E ，探究线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的数量关系.

(1) 问题探究

先将图1问题特殊化，如图2，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接写出下列线段的长度， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

(2) 如图1，再探究一般情形中线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明你的结论；

(3) 问题拓展
如图3，四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点F在 $\text{[math]}$ 的延长线上， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E ， $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的长度.

【考点】

四边形的综合;

【答案】

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实践探究题困难

1. 【提出问题】

如图，在人教版八年级下册数学教材第18章平行四边形的复习题中有这样一道题：

求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的 ▲ ．（此空不填）

小红在探究该问题时从特殊的平行四边形开始，请你跟随小红的思路，帮她完成下列问题：

(1) 【探究问题】①在正方形ABCD中，设其边长为a ，则对角线AC ， BD和a的数量关系有：AC²＋BD²＝；

②在菱形ABCD中，设其边长为a ，则对角线AC ， BD和a的数量关系有：AC²＋BD²＝；

③在矩形ABCD中，设AB＝a ， BC＝b ，则对角线AC ， BD和a ， b 的数量关系有：AC²＋BD²＝；

(2) 【解决问题】如图1，在▱ABCD中，设AB＝a ， BC＝b ，猜想对角线AC ， BD和a ， b的数量关系有：AC²＋BD²＝ ▲ 并证明你的结论；

(3) 【知识应用】如图2，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝9，CD＝8，AD＝6，∠ADC＝90°，点M为BC的中点，求AM的长．

实践探究题困难

2. 定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形.邻等四边形中，相等两邻边的夹角称为邻等角.

(1) 如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠B=90°，对角线AC平分∠BCD，求证：四边形ABCD是邻等四边形；

(2) 如图2，在5×6的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D，并分别用D₁ ， D₂ ， D₃ ， …表示；

(3) 如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠A=∠B=90°，∠BCD为邻等角.若AB=8，AD=6，求邻等四边形ABCD的周长.

实践探究题困难

(1) 问题背景：小刚遇到一个这样问题：如图1，两条相等的线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．通过尝试他发现通过平移可以解决这个问题

证明：过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 且使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，

∴四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形，则 $\text{[math]}$ ，

∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，

又∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ 为等边三角形，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．

请完成证明中的两个填空．并参考小刚同学思考的方法，解决下列问题：

(2) 类比运用：如图2， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 联系拓展：如图3， $\text{[math]}$ 的三条中线分别为 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 的面积为8，则以 $\text{[math]}$ 的长度为三边长的三角形的面积等于（请直接写出答案）．

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