【问题背景】如图①，在四边形ABCD中，∠A和∠C称为它的对角，若这个四边形满足：∠A+∠C＝180°，则这个四边形叫做为“对角互补四边形”．【问题解决】

1. 【问题背景】如图①，在四边形ABCD中，∠A和∠C称为它的对角，若这个四边形满足：∠A+∠C＝180°，则这个四边形叫做为“对角互补四边形”．

【问题解决】

(1) 若四边形ABCD是“对角互补四边形”，且∠B＝3∠D，求∠B的度数；

(2) 如图②，∠MON＝60°，OB平分∠MON，A是射线ON上一动点，C是射线OM上的动点，且四边形COAB是“对角互补四边形”．

①若△COB是等腰三角形，求∠BAN的度数；

②若OB＝m，若S_△BOC：S_△BOA＝n，求OC的长（用含m、n的代数式表示）．

【考点】

四边形的综合; 四边形-动点问题;

【答案】

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实践探究题困难

1. 定义：把斜边重合，且直角顶点不重合

两个直角三角形叫做共边直角三角形．

(1) 概念理解：如图1，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，说明 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是共边直角三角形．

(2) 问题探究：如图2， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是共边直角三角形，E、F分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，连结 $\text{[math]}$ ，求证 $\text{[math]}$ ．

(3) 拓展延伸：如图3， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是共边直角三角形，且 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．

实践探究题困难

(1) 问题提出
如图1，已知： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，探究：BC和DF的数量关系并加以证明；

(2) 问题探究
如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，过点C作射线 $\text{[math]}$ ，连结BF交边AC于点E ，点D在边AB上，连结DF ，若 $\text{[math]}$ ，探究BE和FD的数量关系并加以证明；

(3) 问题拓展
如图3，锐角 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，过点C作直线 $\text{[math]}$ ，点E为边AC上一点，连BE并延长交直线l于点F ，点D在边AB上，若 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系．．

实践探究题困难

3. 综合与实践

小明遇到这样一个问题，如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围 $\text{[math]}$ 小明的做法是：如图 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，构造 $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：

(1) 请你写出证明 $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ 的过程．

(2) 直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围是 ▲ $\text{[math]}$ 小明总结：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造 $\text{[math]}$ 参考小明思考问题的方法，解决问题．

(3) 如图 $\text{[math]}$ ，在正方形 $\text{[math]}$ 各角都为直角 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边的中点， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 边上的点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的长为．

实践探究题困难