定义：把斜边重合，且直角顶点不重合两个直角三角形叫做共边直角三角形．

1. 定义：把斜边重合，且直角顶点不重合

两个直角三角形叫做共边直角三角形．

(1) 概念理解：如图1，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，说明 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是共边直角三角形．

(2) 问题探究：如图2， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是共边直角三角形，E、F分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，连结 $\text{[math]}$ ，求证 $\text{[math]}$ ．

(3) 拓展延伸：如图3， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是共边直角三角形，且 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．

【考点】

四边形的综合;

【答案】

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实践探究题困难

(1) 问题提出
如图1，已知： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，探究：BC和DF的数量关系并加以证明；

(2) 问题探究
如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，过点C作射线 $\text{[math]}$ ，连结BF交边AC于点E ，点D在边AB上，连结DF ，若 $\text{[math]}$ ，探究BE和FD的数量关系并加以证明；

(3) 问题拓展
如图3，锐角 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，过点C作直线 $\text{[math]}$ ，点E为边AC上一点，连BE并延长交直线l于点F ，点D在边AB上，若 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系．．

实践探究题困难

2. 综合与实践

小明遇到这样一个问题，如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围 $\text{[math]}$ 小明的做法是：如图 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，构造 $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：

(1) 请你写出证明 $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ 的过程．

(2) 直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围是 ▲ $\text{[math]}$ 小明总结：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造 $\text{[math]}$ 参考小明思考问题的方法，解决问题．

(3) 如图 $\text{[math]}$ ，在正方形 $\text{[math]}$ 各角都为直角 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边的中点， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 边上的点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的长为．

实践探究题困难

(1) 问题背景：如图1，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 绕B点旋转，它的两边分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于E、F.探究图中线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系.小李同学探究此问题的方法是：延长 $\text{[math]}$ 到G，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，先证明 $\text{[math]}$ ，再证明 $\text{[math]}$ ，可得出结论，他的结论就是；

(2) 探究延伸1：如图2，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 绕B点旋转，它的两边分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于E、F.上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由.

(3) 探究延伸2：如图3，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 绕B点旋转，它的两边分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于E、F.上述结论是否仍然成立？并说明理由.

(4) 实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西 $\text{[math]}$ 的A处舰艇乙在指挥中心南偏东 $\text{[math]}$ 的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东 $\text{[math]}$ 的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为 $\text{[math]}$ ，试求此时两舰艇之间的距离.

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