在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”.比如：三个内角分别为100°，50°，30°的三角形是“智慧三角形”，如图∠MON=40°，在射线0M上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C.

1. 在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”.比如：三个内角分别为100°，50°，30°的三角形是“智慧三角形”，如图∠MON=40°，在射线0M上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C.

(1) ∠ABO=

(2) 若∠ACB=60°.求证： △AOC为“智慧三角形”

(3) 当△ABC为“智慧三角形”时，请求出∠OAC的度数

【考点】

三角形内角和定理; 三角形的外角性质; 直角三角形的性质;

【答案】

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综合题普通

1. 已知直线 $\text{[math]}$ ，嘉淇对直角三角板在这两条平行线间的摆放进行了探究．

(1) 如图 $\text{[math]}$ ，嘉淇把三角板的直角顶点放在直线 $\text{[math]}$ 上 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为；

(2) 将含 $\text{[math]}$ 角的直角三角板 $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ 所示摆放，当 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 一定平分 $\text{[math]}$ 吗？请做出判断，并说明理由；

(3) 将一副直角三角板按如图 $\text{[math]}$ 所示方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含 $\text{[math]}$ 角的直角三角板 $\text{[math]}$ 的直角顶点与 $\text{[math]}$ 角的顶点重合于点 $\text{[math]}$ ，直角三角板 $\text{[math]}$ 的斜边 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，含 $\text{[math]}$ 角的直角三角板的另一个顶点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，求 $\text{[math]}$ 的度数．

综合题困难

2. “转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．

(1) 请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；

(2) 若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；

(3) 若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）

综合题困难

3. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的平分线相交于点P．

(1) 如图①，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 如图②，作 $\text{[math]}$ 外角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线，相交于点Q．试探索 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系；

(3) 如图③，在图②中延长线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．交于点E，若在 $\text{[math]}$ 中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接写出 $\text{[math]}$ 的度数．

综合题困难