现代科学的发展揭示了无序性也是世界构成的一个本质要素。意大利物理学家乔治·帕里西发现了从原子到行星尺度的物理系统中无序和涨落间的相互影响，深刻揭示了无序体系中的隐藏对称性，荣获了诺贝尔物理学奖。如图所示是力学中的一个无序系统模型，质量均为m的小球P、Q用两根长度均为L的轻质细杆a、b连接，细杆a的一端可绕固定点O自由转动，细杆b可绕小球P自由转动。开始时两球与O点在同一高度，静止释放两球，并开始计时，两球在竖直面内做无序运动；t时，细杆a与竖直方向的夹角为，小球Q恰好到达与O点等高处且速度方向水平向右。重力加速度g，不计一切摩擦和空气阻力，求：

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1. 现代科学的发展揭示了无序性也是世界构成的一个本质要素。意大利物理学家乔治·帕里西发现了从原子到行星尺度的物理系统中无序和涨落间的相互影响，深刻揭示了无序体系中的隐藏对称性，荣获了诺贝尔物理学奖。如图所示是力学中的一个无序系统模型，质量均为m的小球P、Q用两根长度均为L的轻质细杆a、b连接，细杆a的一端可绕固定点O自由转动，细杆b可绕小球P自由转动。开始时两球与O点在同一高度，静止释放两球，并开始计时，两球在竖直面内做无序运动；t时，细杆a与竖直方向的夹角为 $\text{[math]}$ ，小球Q恰好到达与O点等高处且速度方向水平向右。重力加速度g，不计一切摩擦和空气阻力，求：

(1) t时刻，Q球的速度大小v；

(2) t时间内，b杆对Q球所做的功。

【考点】

动能定理的综合应用; 机械能守恒定律;

【答案】

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解答题普通

1. 如图甲所示，游乐场的过山车可以底朝上在竖直圆轨道上运行，可抽象为图乙的模型。倾角为45°的直轨道AB、半径R＝10 m的光滑竖直圆轨道和倾角为37°的直轨道EF，分别通过水平光滑衔接轨道BC、C^'E平滑连接，另有水平减速直轨道FG与EF平滑连接，E、G间的水平距离l＝40 m。现有质量m＝500 kg的过山车，从高h＝40 m处的A点静止下滑，经BCDC^'EF最终停在G点。过山车与轨道AB、EF的动摩擦因数均为μ₁＝0.2，与减速直轨道FG的动摩擦因数μ₂＝0.75，过山车可视为质点，运动中不脱离轨道，求：

(1) 过山车运动至圆轨道最低点C时的速度大小；

(2) 过山车运动至圆轨道最高点D时对轨道的作用力大小；

(3) 减速直轨道FG的长度x。

解答题普通

2. 如图为高山滑雪赛道，赛道分为倾斜赛道 $\text{[math]}$ 与水平赛道 $\text{[math]}$ 两部分，其中倾斜赛道 $\text{[math]}$ 顶端 $\text{[math]}$ 处与水平赛道 $\text{[math]}$ 间的高度差 $\text{[math]}$ 。某滑雪者连同滑雪板总质量 $\text{[math]}$ （可视为质点），从赛道顶端 $\text{[math]}$ 处由静止开始沿直线下滑，通过倾斜赛道底端 $\text{[math]}$ 处测速仪测得其速度大小 $\text{[math]}$ 。滑雪者通过倾斜赛道 $\text{[math]}$ 与水平赛道 $\text{[math]}$ 连接处速度大小不变，在水平赛道 $\text{[math]}$ 上沿直线继续前进 $\text{[math]}$ 后停下来（滑雪者整个运动过程中未使用雪杖）。重力加速度 $\text{[math]}$ 。

（1）求滑雪者在倾斜赛道 $\text{[math]}$ 段运动过程中，重力势能的减少量 $\text{[math]}$ 和动能的增加量 $\text{[math]}$ ，并判断机械能是否守恒；

（2）求滑雪者在水平面赛道上受到的平均阻力大小 $\text{[math]}$ 。

解答题普通

3. 某研究小组用如图甲所示的装置来研究滑块（可视为质点）的运动。ABCD为固定轨道，AB部分是倾角 $\text{[math]}$ 的粗糙斜面，BC部分是圆心角 $\text{[math]}$ 的光滑圆弧轨道，CD部分是光滑水平面，AB和CD分别与圆弧轨道部分相切于B点和C点，圆弧轨道的C点下面装有一压力传感器。轻弹簧一端固定在水平面上的D处，另一端自由伸长时恰好在C点。该小组成员让滑块从斜面上的顶点A处由静止开始下滑，已知滑块与斜面间的动摩擦因数 $\text{[math]}$ ，取重力加速度大小 $\text{[math]}$ 。

(1) 若A、B两点的高度差 $\text{[math]}$ ，求滑块在斜面AB上运动的时间t；

(2) 让滑块从斜面上不同位置由静止下滑，并记录滑块起始位置离B点的高度h，滑块每次刚到达C点时，压力传感器的示数F与h的关系图像如图乙所示，求圆弧轨道的半径R；

(3) 在（2）的情况下，若弹簧的劲度系数 $\text{[math]}$ ，弹簧始终处于弹性限度内，求弹簧最大形变量x_m与A、B两点的高度差H的关系式。

解答题困难