某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（午餐，晚餐）王同学9天6天12天3天张老师6天6天6天12天假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．

1. 某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：

选择餐厅情况（午餐，晚餐）	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
王同学	9天	6天	12天	3天
张老师	6天	6天	6天	12天

假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．

(1) 估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；

(2) 记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望 $\text{[math]}$ ；

(3) 假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”， $\text{[math]}$ ，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明． $\text{[math]}$ ．

【考点】

古典概型及其概率计算公式; 离散型随机变量及其分布列; 离散型随机变量的期望与方差; 条件概率;

【答案】

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解答题普通

1. 设有甲､乙､丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的5个球，其中甲箱有3个蓝球和2个黑球，乙箱有4个红球和1个白球，丙箱有2个红球和3个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.

(1) 若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；

(2) 若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量 $\text{[math]}$ 表示最后摸出的2个球的分数之和，求 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望.

解答题普通

2. 已知某闯关游戏，第一关在 $\text{[math]}$ 两个情境中寻宝．每位参赛选手先在两个情境中选择一个开始第一关，若寻宝失败则比赛结束；若寻宝成功则进入另一个情境，无论寻宝成功与否，第一关比赛结束． $\text{[math]}$ 情境寻宝成功获得经验值2分，否则得0分； $\text{[math]}$ 情境寻宝成功获得经验值3分，否则得0分．已知某玩家在 $\text{[math]}$ 情境中寻宝成功的概率为0.8，在 $\text{[math]}$ 情境中寻宝成功的概率为0.6，且每个情境中寻宝成功的概率与选择初始情境的次序无关．

(1) 若该玩家选择从 $\text{[math]}$ 情境开始第一关，记 $\text{[math]}$ 为经验值累计得分，求 $\text{[math]}$ 的分布列；

(2) 为使经验值累计得分的期望最大，该玩家应选择从哪个情境开始第一关？并说明理由．

解答题普通

3. 某商场在周年庆举行了一场抽奖活动，抽奖箱中所有乒乓球都是质地均匀，大小与颜色相同的，且每个小球上标有1，2，3，4，5，6这6个数字中的一个，每个号都有若干个乒乓球．顾客有放回地从抽奖箱中抽取小球，用 $\text{[math]}$ 表示取出的小球上的数字，当 $\text{[math]}$ 时，该顾客积分为3分，当 $\text{[math]}$ 时，该顾客积分为2分，当 $\text{[math]}$ 时，该顾客积分为1分．以下是用电脑模拟的抽奖，得到的30组数据如下：

1 3 1 1 6 3 3 4 1 2

4 1 2 5 3 1 2 6 3 1

6 1 2 1 2 2 5 3 4 5

(1) 以此样本数据来估计顾客的抽奖情况，分别估计某顾客抽奖一次，积分为3分和2分的概率；

(2) 某顾客从上述30个样本数据中随机抽取2个，若该顾客总积分是几分，商场就让利几折（如该顾客积分为 $\text{[math]}$ ，商场就给该顾客的所有购物打 $\text{[math]}$ 折），记该顾客最后购物打X折，求X的分布列和数学期望．

解答题普通