已知函数．

1. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，则过点 $\text{[math]}$ 的曲线 $\text{[math]}$ 的切线有几条?并写出其中一条切线方程；

(2) 讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；

(3) 若 $\text{[math]}$ 有唯一零点，求实数a的取值范围．

【考点】

利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数的极值; 利用导数研究曲线上某点切线方程; 函数零点存在定理;

【答案】

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解答题普通

1. 已知 $\text{[math]}$ .

(1) 若过点 $\text{[math]}$ 作曲线 $\text{[math]}$ 的切线，切线的斜率为2，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，讨论函数 $\text{[math]}$ 的零点个数.

解答题困难

2. 设函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ，讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，

（i）证明 $\text{[math]}$ 恰有两个零点

（ii）设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的极值点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的零点，且 $\text{[math]}$ ，证明 $\text{[math]}$ .

解答题困难

3. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

(2) 若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处取得极小值，求 $\text{[math]}$ 的值，并说明理由.

(3) 若存在正实数 $\text{[math]}$ ，使得对任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题困难