设函数，其中.

1. 设函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ，讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，

（i）证明 $\text{[math]}$ 恰有两个零点

（ii）设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的极值点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的零点，且 $\text{[math]}$ ，证明 $\text{[math]}$ .

【考点】

利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数的极值; 函数零点存在定理;

【答案】

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解答题困难

1. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间与极值；

(2) 若函数 $\text{[math]}$ 有2个不同的零点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，求a的取值范围.

解答题困难

2. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 的单调递减区间；

(2) 若 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的极小值点，求实数a的取值范围.

解答题普通

3. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

(1) 求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间 $\text{[math]}$

(2) 若函数 $\text{[math]}$ 的两个极值点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．

解答题困难