已知函数.

1. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

(2) 若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处取得极小值，求 $\text{[math]}$ 的值，并说明理由.

(3) 若存在正实数 $\text{[math]}$ ，使得对任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

【考点】

利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数的极值; 利用导数研究曲线上某点切线方程;

【答案】

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解答题困难

1. 已知函数 $\text{[math]}$

(1) 若直线y=x+b与f(x)的图像相切，且切点的横坐标为1，求实数m和b的值；

(2) 若函数f(x)在(0，+∞)上存在两个极值点x₁，x₂，且：x₁<x₂，证明：lnx₁+lnx₂>2.

解答题困难

2. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 的单调递减区间；

(2) 若 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的极小值点，求实数a的取值范围.

解答题普通

3. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

(1) 求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间 $\text{[math]}$

(2) 若函数 $\text{[math]}$ 的两个极值点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．

解答题困难