如图，抛物线与轴交于点A（1，0），B（5，0），点为轴正半轴上一点，直线轴交抛物线于点，（点在点左侧）．

1. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点A（1，0），B（5，0），点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴正半轴上一点，直线 $\text{[math]}$ 轴交抛物线于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 左侧）．

(1) 求该抛物线的表达式；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 点的坐标．

【考点】

二次函数图象与系数的关系; 二次函数图象与坐标轴的交点问题;

【答案】

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解答题普通

1. 规定：若函数 $\text{[math]}$ 的图象与函数 $\text{[math]}$ 的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．

(1) 下列三个函数① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ，其中与二次函数 $\text{[math]}$ 互为“兄弟函数”的是　　（填写序号）；

(2) 若函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为“兄弟函数”， $\text{[math]}$ 是其中一个“兄弟点”的横坐标．

①求实数 $\text{[math]}$ 的值；

②求另外两个“兄弟点”的横坐标．

解答题困难

2. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线 $\text{[math]}$ （a为常数且 $\text{[math]}$ ）与y轴交于点A．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求抛物线的顶点坐标；

(2) 若线段 $\text{[math]}$ （含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；

(3) 若抛物线与直线 $\text{[math]}$ 交于M、N两点，线段 $\text{[math]}$ 与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围．

解答题困难

3. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，抛物线顶点为D．

(1) 求A，B，C，D四个点的坐标；

(2) 若点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，若对于m的每一个取值总有 $\text{[math]}$ ，请直接写出m的取值范围．

解答题普通