如图，在中，，，点E在射线上（不与点B，点C重合），点D为线段的中点，连接．将射线绕点A逆时针旋转得到射线，过点D作交射线于点F．

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E在射线 $\text{[math]}$ 上（不与点B，点C重合），点D为线段 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．将射线 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到射线 $\text{[math]}$ ，过点D作 $\text{[math]}$ 交射线 $\text{[math]}$ 于点F．

(1) 如图1，点E在线段 $\text{[math]}$ 上，求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 如图2， $\text{[math]}$ ，点E在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上，点D在线段 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

①依题意补全图形；

②写出线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间是数量关系，并证明．

【考点】

三角形内角和定理; 三角形全等及其性质; 等腰三角形的判定与性质; 勾股定理; 旋转的性质; 三角形全等的判定-AAS;

【答案】

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证明题困难

1. 机器人 $\text{[math]}$ 在水平线路 $\text{[math]}$ 间（不含 $\text{[math]}$ ）做往返运动， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上动点， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 机器人在运动中， $\text{[math]}$ 周长是否改变？___________（填“变”或“不变”）； $\text{[math]}$ 面积是否改变？___________（填“变”或“不变”）

(2) 机器人运动到 $\text{[math]}$ 中点时，判断 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由．

(3) 机器人运动中 $\text{[math]}$ 为等腰三角形，点 $\text{[math]}$ 的位置有___________处．

证明题普通

2. 如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．

(1) 如图1，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条特异线；

(2) 如图2，若△ABC是特异三角形，∠A＝30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数．

证明题困难

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D是线段BC边上的一点，连结AD，点E在射线BC上，过E作 $\text{[math]}$ 交AD于点F．

（1）如图1，当D是BC的中点，且 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ，求CE的长；

（2）如图2，当 $\text{[math]}$ 时，延长EF交AB于点G，取AD的中点H，连结EH，过点A作 $\text{[math]}$ ，交EH的延长线于点M，猜想AM与BG之间的数量关系并证明．

证明题困难