对于形如的分式，我们可以通过观察分母的特征，采取“凑分母”的方法将分式变形，最终表示成整式与分式和（差）的形式或者整式的形式．例如：，．解决问题：

1. 对于形如 $\text{[math]}$ 的分式，我们可以通过观察分母的特征，采取“凑分母”的方法将分式变形，最终表示成整式与分式和（差）的形式或者整式的形式．例如：

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ．

解决问题：

(1) 分式 $\text{[math]}$ 可以表示成 $\text{[math]}$ 的形式，且 $\text{[math]}$ 为整式，用含 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ ；

(2) 已知 $\text{[math]}$ 为整数．

①若 $\text{[math]}$ 可以表示成一个整式，求 $\text{[math]}$ 的值；

②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为整数，且 $\text{[math]}$ 的结果也为整数，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

分式的值为零的条件; 分式的加减法;

【答案】

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解答题普通

1. 如果一个式子由两个或两个以上的分式用“+”连接而成，且任意两个分式的分母位置互换后对式子的值没有影响，则称这类式子为“均衡分式串”，例 $\text{[math]}$ 中交换 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的位置可得 $\text{[math]}$ ，两个式子值相同，则 $\text{[math]}$ 是“均衡分式串”．

概念理解：（1）下列3个式子中是“均衡分式串”的是________．（填序号）

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ．

深入探究：（2）“均衡分式串” $\text{[math]}$ 是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由．

拓展应用：（3）若 $\text{[math]}$ ，求“均衡分式串” $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

2. 【发现】观察下列式子： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 对于真分数 $\text{[math]}$ ，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大；

【类比】“已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，分式 $\text{[math]}$ 的分子、分母都加上 $\text{[math]}$ 后，所得分式 $\text{[math]}$ 的值相比 $\text{[math]}$ 是增大了还是减小了？”小明想到了“用 $\text{[math]}$ 减去 $\text{[math]}$ ，然后判断差的正负性”的思路，请你利用小明的思路，探索解答这个问题．

【拓展】 $\text{[math]}$ 的分子、分母都加上 $\text{[math]}$ 后，得到分式 $\text{[math]}$ ．

（1）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ______ $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ______ $\text{[math]}$ ；（填“>”“<”）

（2） $\text{[math]}$ 的分子、分母都加上 $\text{[math]}$ 后，所得分式 $\text{[math]}$ 的值相比 $\text{[math]}$ 是增大了还是减小了？

解答题普通

3. 如果两个分式 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的和为常数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为正整数，则称 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为“完美分式”，常数 $\text{[math]}$ 称为“完美值”，如分式 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为“完美分式”，“完美值” $\text{[math]}$ ．

(1) 已知分式 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，判断A与B是否互为“完美分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“完美值” $\text{[math]}$ ；

(2) 已知分式 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为“完美分式”，且“完美值” $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为正整数，分式 $\text{[math]}$ 的值为正整数．

①求 $\text{[math]}$ 所代表的代数式；

②求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难