已知函数.

1. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的单调区间；

(2) 若 $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

【考点】

利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数最大（小）值;

【答案】

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解答题普通

1. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；

(2) 若 $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

解答题困难

2. 已知函数 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ .

（1）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；

（2）设 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值；

（3）已知 $\text{[math]}$ ，估计ln2的近似值（精确到0.001）

解答题困难

3. 在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球 $\text{[math]}$ 次，红球出现 $\text{[math]}$ 次．假设每次摸出红球的概率为 $\text{[math]}$ ，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率 $\text{[math]}$ 的估计值为 $\text{[math]}$ ．

(1) 若袋中这两种颜色球的个数之比为 $\text{[math]}$ ，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

（注： $\text{[math]}$ 表示当每次摸出红球的概率为 $\text{[math]}$ 时，摸出红球次数为 $\text{[math]}$ 的概率）

（ⅰ）完成下表，并写出计算过程；

$\text{[math]}$	0	1	2	3
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$			$\text{[math]}$
$\text{[math]}$		$\text{[math]}$		$\text{[math]}$

（ⅱ）在统计理论中，把使得 $\text{[math]}$ 的取值达到最大时的 $\text{[math]}$ ，作为 $\text{[math]}$ 的估计值，记为 $\text{[math]}$ ，请写出 $\text{[math]}$ 的值．

(2) 把（1）中“使得 $\text{[math]}$ 的取值达到最大时的 $\text{[math]}$ 作为 $\text{[math]}$ 的估计值 $\text{[math]}$ ”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．具体步骤：先对参数 $\text{[math]}$ 构建对数似然函数 $\text{[math]}$ ，再对其关于参数 $\text{[math]}$ 求导，得到似然方程 $\text{[math]}$ ，最后求解参数 $\text{[math]}$ 的估计值．已知 $\text{[math]}$ 的参数 $\text{[math]}$ 的对数似然函数为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．求参数 $\text{[math]}$ 的估计值，并且说明频率估计概率的合理性．

解答题困难