古人喜欢使用几何图形直观地验证代数恒等式．那么如何构造图形来得到代数恒等式？

1. 古人喜欢使用几何图形直观地验证代数恒等式．那么如何构造图形来得到代数恒等式？

(1) 小红的作法是：作边长为 $\text{[math]}$ 的正方形如图1所示，正方形被两条线分割成两个正方形和两个小长方形，由于面积不变，可以直观地发现恒等式为______．

(2) 小星说：我还可以构造出边长为 $\text{[math]}$ 的正方形如图2所示，内部有4个全等的小长形和1个小正方形，同样根据面积不变，可以直观地发现与（1）中不同恒等式为______．

(3) 若 $\text{[math]}$ ，图中一个小长方形的面积为10，利用图1，图2得到的等式，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

完全平方公式及运用; 完全平方公式的几何背景;

【答案】

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计算题普通

1. 如图1是一个长为 $\text{[math]}$ 、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图 2)．

(1) 观察图2，写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的等量关系是；

(2) 根据(1)中的结论，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

(3) 拓展应用：若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

计算题普通

2. 【母题呈现】观察图①，用等式表示下图中图形的面积的运算为．

【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为．

【知识应用】

（1）根据图②所得的公式，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ _____．

（2）若x满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

【拓展应用】

如图③，四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 于点E， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ E与 $\text{[math]}$ 的面积和为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积和为．

计算题普通

3. 图1是一个长为 $\text{[math]}$ 、宽为 $\text{[math]}$ 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1) 图2中的阴影部分的正方形的边长等于___________；面积等于___________．

(2) 观察图2，请你写出下列三个代数式 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的等量关系为___________．

(3) 运用你所得到的公式计算：若m、n为实数，且 $\text{[math]}$ ，试求 $\text{[math]}$ 的值．

(4) 如图3所示，两正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ 边长分别为α、b，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求图中阴影部分的面积．

计算题普通