如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，且BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQAC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F，连接PM，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．

1. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，且BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ $\text{[math]}$ AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F，连接PM，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．

(1) 当t为何值时，△APM与△ACB相似？

(2) 设四边形PQCM的面积为y $\text{[math]}$ ，求y与t之间的函数关系式；

(3) 连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

【考点】

线段垂直平分线的性质; 二次函数-动态几何问题; 三角形-动点问题;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P在线段 $\text{[math]}$ 上从点A向点B以 $\text{[math]}$ 的速度移动；同时，点Q在线段 $\text{[math]}$ 上从点B向点C以 $\text{[math]}$ 的速度移动，设P、Q两点运动时间为x（秒）．其中任何一点运动到线段端点时停止运动．

(1) 请用x表示出下列线段的长： $\text{[math]}$ ______cm； $\text{[math]}$ _______cm； $\text{[math]}$ ________cm；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的面积S关于时间x的函数解析式及x的取值范围．

(3) 当x为何值时， $\text{[math]}$ 的面积为8cm²？

解答题普通

2. 如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x²-2x+c（c＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为E，若点B的坐标是（1，0），点D是该抛物线在第二象限图象上的一个动点．

(1) 求该抛物线的解析式和顶点E的坐标；

(2) 设点D的横坐标是a，问当a取何值时，四边形AOCD的面积最大；

(3) 如图2，若直线OD的解析式是y=-3x，点P和点Q分别在抛物线上和直线OD上，问：是否存在以点P，Q，O，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解答题困难

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 从点A开始沿边 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度移动，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 开始沿边 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为 $\text{[math]}$ 秒，

(1) $\text{[math]}$ 为何值时 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ？

(2) $\text{[math]}$ 为何值时 $\text{[math]}$ 的面积最大？最大面积是多少？

解答题普通