已知数列的前n项和为，．

1. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2) 在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间插入n个数，使这 $\text{[math]}$ 个数组成一个公差为 $\text{[math]}$ 的等差数列，求 $\text{[math]}$ ．

【考点】

等差数列的通项公式; 等比数列概念与表示; 等比数列的通项公式;

【答案】

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解答题普通

1. 有无穷多个首项均为1的等差数列，记第 $\text{[math]}$ 个等差数列的第 $\text{[math]}$ 项为 $\text{[math]}$ ，公差为 $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 若m为给定的值，且对任意n有 $\text{[math]}$ ，证明：存在实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

(3) 若 $\text{[math]}$ 为等比数列，证明： $\text{[math]}$ .

解答题困难

2. 记 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前n项和，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且数列 $\text{[math]}$ 是等比数列，证明： $\text{[math]}$ 是等比数列.

解答题普通

3. 等差数列 $\text{[math]}$ 和等比数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2) 已知：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ．设S为数列 $\text{[math]}$ 中同时满足条件①和②的所有的项的和，求S的值．

解答题普通