已知抛物线的顶点．

1. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ ．

(1) 该抛物线的解析式为___________；

(2) 如图1，直线 $\text{[math]}$ 交x轴于A，交抛物线于B、C， $\text{[math]}$ 轴于E， $\text{[math]}$ 轴于F，试比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系；

(3) 如图2所示，平移抛物线使其顶点在原点O处，过y轴正半轴F点的直线与抛物线相交于C、D两点（直线 $\text{[math]}$ 不平行x轴），分别过C、D向直线 $\text{[math]}$ 轴作垂线，垂足分别为M、N，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求F点的坐标．

【考点】

一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）; 待定系数法求二次函数解析式; 二次函数-面积问题;

【答案】

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解答题困难

1. 已知m，n是一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．

(1) $\text{[math]}$ ；

(2) $\text{[math]}$ ．

解答题普通

2. 课本再现：

(1) 若方程 $\text{[math]}$ 的两个根是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．（用含a，b，c的代数式表示）

类比探究

(2) 已知关于x方程 $\text{[math]}$ ，写出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数．

拓展应用

(3) 已知m， n满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

3. 法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，那么两个根的关系为

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．习惯上把这个结论称作“韦达定理”．

小明在探究二次项系数为1的一元二次方程 $\text{[math]}$ 根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究．

定义：

倍根方程：如果关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．

方根方程：如果关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”．

(1) 请你判断：方程 $\text{[math]}$ 是______（填“倍根方程”或“方根方程”）；

(2) 若一元二次方程 $\text{[math]}$ 是“倍根方程”，求c的值；

(3) 根据探究，小明想设计一个一元二次方程 $\text{[math]}$ ，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？

解答题普通