如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、第三象限内的，两点，与x轴交于点C．

1. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象相交于第一、第三象限内的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与x轴交于点C．

(1) 求该反比例函数和一次函数的解析式．

(2) 直接写出当 $\text{[math]}$ 时，x的取值范围．

(3) 在y轴上找一点P使 $\text{[math]}$ 最大，求 $\text{[math]}$ 的最大值及点P的坐标．

【考点】

待定系数法求一次函数解析式; 待定系数法求反比例函数解析式; 反比例函数与一次函数的交点问题; 勾股定理;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D．

(1) 求反比例函数和一次函数的表达式；

(2) 在反比例函数图象上有一点P，使得 $\text{[math]}$ ，求点P的坐标．

解答题普通

2. 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 与x成正比例， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 成反比例，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 关于x的函数解析式．

解答题普通

3. 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点(坐标轴上的点除外)，过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足 $\text{[math]}$ 为顶点的矩形 $\text{[math]}$ 的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．

　　　

【尝试初探】

（1）点 $\text{[math]}$ ______ “美好点”(填“是”或“不是”)；

【深入探究】

（2）①若“美好点” $\text{[math]}$ 在双曲线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为常数 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ ______；

②在①的条件下， $\text{[math]}$ 在双曲线 $\text{[math]}$ 上，求 $\text{[math]}$ 的值；

【拓展延伸】

（3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点 $\text{[math]}$ 是第一象限内的“美好点”．

①求y关于x的函数表达式；

②对于图象上任意一点 $\text{[math]}$ ，代数式 $\text{[math]}$ 是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．

解答题普通