如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．

1. 如果关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个根是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则方程 $\text{[math]}$ 是“邻根方程”．

(1) 通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ．

(2) 已知关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ （k是常数）是“邻根方程”，求k的值．

(3) 若关于x的方程 $\text{[math]}$ （m，n是常数， $\text{[math]}$ ）是“邻根方程”，令 $\text{[math]}$ ，试求t的最大值．

【考点】

一元二次方程的根; 公式法解一元二次方程; 因式分解法解一元二次方程; 二次函数的最值;

【答案】

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解答题困难

1. 定义：我们把关于x 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）称为一对“友好方程 ”．如 $\text{[math]}$ 的“友好方程 ”是 $\text{[math]}$ ．

(1) 写出一元二次方程 $\text{[math]}$ 的“友好方程 ” ；

(2) 已知一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两根为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，它的“友好方程 ”的两根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．根据以上结论，猜想 $\text{[math]}$ 的两根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与其“友好方程 ” $\text{[math]}$ 的两根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间存在的一种特殊关系为；

(3) 已知关于x 的方程 $\text{[math]}$ 的两根是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请利用（2）中的结论，求出关于x 的方程 $\text{[math]}$ 的两根．

解答题困难

2. 如果关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为"倍根方程".例如，一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个根是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则方程 $\text{[math]}$ 是"倍根方程".

(1) 根据上述定义，一元二次方程 $\text{[math]}$ （填"是"或"不是"）"倍根方程"；

(2) 若点 $\text{[math]}$ 在双曲线 $\text{[math]}$ 上，请说明关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 是"倍根方程"；

解答题普通

(1) $\text{[math]}$ ；

(2) $\text{[math]}$

解答题普通