为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．

1. $\text{[math]}$ 为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点， $\text{[math]}$ ．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．

(1) 如图1，EF与AC交于点G，连接NG，BE，直接写出NG与BE的数量关系；

(2) 如图2，将 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转，旋转角为 $\text{[math]}$ ， M为线段EF的中点，连接DN，MN．当 $\text{[math]}$ 时，猜想∠DNM的大小是否为定值，如果是定值，请写出∠DNM的度数并证明，如果不是，请说明理由；

(3) 连接BN，在 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转过程中，请直接写出线段BN的最大值．

【考点】

等边三角形的性质; 旋转的性质; 三角形全等的判定-SAS; 三角形的中位线定理;

【答案】

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证明题困难

1. 如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作等边三角形ADE，DE与AC交于点F.

(1)试判断DF与EF的数量关系，并给出证明；

(2)若CF的长为2 cm，试求等边三角形ABC的边长．

证明题普通

2. 阅读下列材料，解答相应问题：

已知 $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ 是高，设 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ ，到 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ ，到 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ ．

如图1，当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，我们容易发现： $\text{[math]}$ ，因此得到： $\text{[math]}$ ．

(1) 小明同学大胆猜想提出问题：如图2，若点P在BC边上，但不与点D重合，结论 $\text{[math]}$ 还成立吗？若成立，借助图 $\text{[math]}$ 证明你的猜想

(2) 进一步猜想：当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上，上述结论还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请猜想h₁ ， h₂与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明．(借助答题卡上的图4)

(3) 延伸，当点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上时，借助图 $\text{[math]}$ ，直接写出结论，不必证明．

证明题困难

3. 如图，四边形ABCD是正方形， $\text{[math]}$ ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B、D点）上任意一点，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．

求证：AM=EN．

证明题普通