【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点.

1. 【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点.

(1) ①如图1，△ABC中，∠A=90° ，则△ABC的三条高所在的直线交于点 ▲ ；

②如图2 ，△ABC中，∠BAC＞90° ，已知两条高BE ，AD ，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出△ABC的第三条高.(不写画法，保留作图痕迹)。

(2) 【综合应用】

如图3 ，在△ABC中，∠ABC＞∠C，AD平分∠BAC ，过点B作BE⊥AD于点E .

①若∠ABC=80°，∠C=30° ，则 ∠EBD= ▲ ' ；

②请写出∠EBD与 ∠ABC ，∠C之间的数量关系_▲ ，并说明理由.

(3) 【拓展延伸】

三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比.如图4 ，M是BC上一点，则有 $\text{[math]}$

如图5 ，△ABC中，M是BC上一点 $\text{[math]}$ ， N是AC的中点，若三角形ABC的面积是m ，求四边形CMDN的面积.(用含m的代数式表示）

【考点】

三角形的面积; 三角形内角和定理; 角平分线的概念; 三角形的综合; 三角形的中线;

【答案】

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实践探究题困难

(1) 提出问题：

如图1，在△ABC中，BC＝5，点A为动点，且满足AC＝4，则△ABC的面积最大值为；

(2) 问题探究：

如图2，已知AB⊥BC，EC⊥BC，垂足分别为B、C，AE交BC于点D，AB＝12，BD＝15，DC＝5，求EC的长；

(3) 解决问题：

如图3，某景区内有一块形状为直角三角形ABC的空地，点D为BC边上的中点，△ABD为珍宝馆，计划沿AD边向外扩建一个比较大的自然馆△ADE，地方又不够用，设计师借助外部地皮，想在空地外找一点E，满足 DE⊥CE，连接AE，其中∠ABC＝90°，测得AB＝300 米，BC＝800 米，问自然馆△ADE的面积是否存在最大值？若存在，请求出△ADE面积的最大值；若不存在，请说明理由．

实践探究题困难

2. 综合与实践

综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动．

(1) 【操作发现】对折 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ 落在边 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处，得到折痕 $\text{[math]}$ ，把纸片展平，如图 $\text{[math]}$ 小明根据以上操作发现：四边形 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 查阅相关资料得知，像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形” $\text{[math]}$ 请写出图 $\text{[math]}$ 中筝形 $\text{[math]}$ 的一条性质．

(2) 【探究证明】如图 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，设筝形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值；

(3) 【迁移应用】在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，当四边形 $\text{[math]}$ 是筝形时，请直接写出四边形 $\text{[math]}$ 的面积．

实践探究题困难

3. （感知）小明同学复习“相似三角形”的时候遇到了这样的一道题目：

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，D为BC上一点，

过点D作 $\text{[math]}$ ，交AC于点E ．

求证： $\text{[math]}$ ∽ $\text{[math]}$ ．

小明同学分析后发现， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外角，可得 $\text{[math]}$ ，再结合已知条件可以得到 $\text{[math]}$ ∽ $\text{[math]}$ ．请根据小明的分析，结合图①，写出完整的证明过程．

（探究）在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，D为BC上一点．

(1) 如图②，过点D作 $\text{[math]}$ ，交AC于点E ．当 $\text{[math]}$ 时，AD的长为．

(2) 如图③，过点D作 $\text{[math]}$ ，分别交AB、AC于点F、E ．当 $\text{[math]}$ 时，BF的长的取值范围为．

实践探究题困难